Étude de la fonction f

Comprendre l’Étude de la fonction f

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} \]

1. Simplifiez l’expression de \(f(x)\) autant que possible. (Indice : effectuez une factorisation du numérateur.)

2. Déterminez le domaine de définition de \(f\). (Rappelez-vous que le dénominateur d’une fraction ne peut pas être nul.)

3. Calculez \(f(0)\), \(f(1)\), et \(f(3)\). Ces calculs permettent d’illustrer comment obtenir l’image de certains éléments du domaine par la fonction \(f\).

4. Déterminez si la fonction \(f\) est continue sur son domaine de définition. Expliquez votre raisonnement.

5. Représentez graphiquement la fonction \(f\) sur l’intervalle \([-2, 5]\). Identifiez clairement le point, s’il existe, où la fonction n’est pas définie.

6. Conclusion: À partir de la forme simplifiée de \(f(x)\) et de votre graphique, quelles observations pouvez-vous faire sur le comportement de la fonction \(f\) près de la valeur pour laquelle elle n’est pas définie ?

Correction : Étude de la fonction f

1. Simplification de l’expression de \( f(x) \)

Pour simplifier \( f(x) \), on observe que le numérateur peut être factorisé en utilisant la différence de carrés :

\[ x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2) \]

Ainsi, la fonction peut être réécrite comme :

\[ f(x) = \frac{(x + 2)(x – 2)}{x – 2} \]

Pour \( x \neq 2 \), on peut simplifier cette expression en annulant le terme \( (x – 2) \) au numérateur et au dénominateur. Ce qui donne :

\[ f(x) = x + 2 \]

2. Domaine de définition de \( f \)

Le domaine de définition de \( f \) est l’ensemble des valeurs réelles de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est défini.

Dans l’expression originale de \( f(x) \), le dénominateur \( x – 2 \) ne peut pas être nul car cela rendrait la fraction indéfinie. Donc, \( x \neq 2 \).

Ainsi, le domaine de définition de \( f \) est \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \), c’est-à-dire tous les nombres réels sauf 2.

3. Calcul de \( f(0) \), \( f(1) \), et \( f(3) \)

En utilisant la forme simplifiée \( f(x) = x + 2 \) :

\[ f(0) = 0 + 2 = 2 \]

\[ f(1) = 1 + 2 = 3 \]

\[ f(3) = 3 + 2 = 5 \]

Ces calculs montrent les images de 0, 1, et 3 par la fonction \( f \).

4. Continuité de \( f \) sur son domaine de définition

La fonction \( f \), dans sa forme simplifiée \( f(x) = x + 2 \), est une fonction linéaire, donc continue partout où elle est définie.

Cependant, puisque nous avons exclu \( x = 2 \) de son domaine de définition, \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

La discontinuité en \( x = 2 \) est due à l’indétermination de la forme originale de \( f(x) \) à cette valeur.

5. Représentation graphique de \( f \)

La fonction \( f(x) = x + 2 \), pour \( x \neq 2 \), est une droite avec une pente de 1 et une ordonnée à l’origine de 2.

Cependant, à \( x = 2 \), la fonction n’est pas définie. Sur le graphe, cela se traduirait par une droite qui traverse tous les points sauf \( (2, 4) \), où un trou serait présent pour indiquer la discontinuité.

6. Conclusion

La forme simplifiée \( f(x) = x + 2 \) et le graphe de la fonction montrent que \( f \) se comporte comme une fonction linéaire sur tout son domaine de définition, à l’exception de \( x = 2 \), où la fonction n’est pas définie.

Ce point d’indétermination révèle l’importance de considérer le domaine de définition initial lors de la simplification d’expressions algébriques.

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