Translation et Construction de Figure

Comprendre la Translation et Construction de Figure

Dans un plan muni d’un repère orthonormal \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(-2,1)\), \(B(2,3)\), et \(C(0,-1)\).

On définit la translation \(\tau\) telle que \(\tau(\vec{u}) = \vec{u} + \vec{v}\) où \(\vec{v} = (3, -2)\).

Questions:

1. Application de la Translation :

• Déterminez les coordonnées des points \(A’\), \(B’\) et \(C’\) après l’application de la translation \(\tau\).
• Calculez les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) et du vecteur \(\vec{A’B’}\). Vérifiez que la translation conserve la direction et la norme des vecteurs.

2. Propriétés Géométriques :

• Démontrez que le triangle \(ABC\) est isométrique au triangle \(A’B’C’\).
• Calculez les longueurs des côtés \(AB\), \(BC\), et \(CA\), ainsi que \(A’B’\), \(B’C’\), et \(C’A’\) pour appuyer votre démonstration d’isométrie.

3. Application supplémentaire :

• Trouvez le centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\) et calculez ses coordonnées.
• Déterminez les coordonnées du centre de gravité \(G’\) du triangle \(A’B’C’\) après la translation. Comparez les positions de \(G\) et \(G’\) et démontrez que \(\tau(G) = G’\).

Correction : Translation et Construction de Figure

1. Application de la Translation

Points Originaux et Translatés :

• \(A(-2, 1)\) et \(A'(1, -1)\)
• \(B(2, 3)\) et \(B'(5, 1)\)
• \(C(0, -1)\) et \(C'(3, -3)\)

Calcul des Vecteurs :

• \( \vec{AB} = B – A = (2 – (-2), 3 – 1) = (4, 2) \)
• \( \vec{A’B’} = B’ – A’ = (5 – 1, 1 – (-1)) = (4, 2) \)

Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{A’B’}\) sont identiques, montrant que la translation conserve la direction et la longueur des vecteurs.

2. Propriétés Géométriques

Longueurs des Côtés :

• \( AB = A’B’ = \sqrt{4^2 + 2^2} = 4.47 \quad \text{(arrondi à deux décimales)} \)
  \( BC = B’C’ = \sqrt{2^2 + 4^2} = 4.47 \)
  \( CA = C’A’ = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2.83 \)

Isométrie des Triangles :

• Les longueurs des côtés des triangles \(ABC\) et \(A’B’C’\) sont égales, confirmant que ces triangles sont isométriques (ils ont la même forme et taille).

3. Application Supplémentaire

Centres de Gravité :

• Le centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\) est calculé comme le barycentre des sommets \((A, B, C)\):

\[ G = \left(\frac{-2 + 2 + 0}{3}, \frac{1 + 3 – 1}{3}\right) = (0, 1) \]

• Le centre de gravité \(G’\) du triangle \(A’B’C’\) est:

\[ G’ = \left(\frac{1 + 5 + 3}{3}, \frac{-1 + 1 – 3}{3}\right) = (3, -1) \]

Comparaison des Positions :

La translation appliquée à \(G\) donne \(G’\), comme prévu par la propriété des translations qui conserve les barycentres.

Raisonnement des Calculs :

• Translation :

Chaque point est déplacé de \(\vec{v} = (3, -2)\), ajouté directement aux coordonnées de chaque point original.

• Vecteurs et Distances :

La conservation de la longueur et de la direction des vecteurs est une propriété clé des translations.

• Centres de Gravité :

Comme la translation est une isométrie, elle déplace le centre de gravité sans changer la structure relative des points, démontrant ainsi la cohérence des transformations géométriques.

Translation et Construction de Figure

D’autres exercices de geometrie terminale:

• Vecteurs et Produit Scalaire dans le Plan