Analyse des Positions Relatives de Droites
Comprendre l’Analyse des Positions Relatives de Droites
Dans une nouvelle zone urbaine en développement, un planificateur de ville doit concevoir une intersection routière qui implique la construction de deux nouvelles routes.
Ces routes doivent être planifiées par rapport à une route existante, et il est essentiel de déterminer leurs positions relatives pour éviter les erreurs de construction et optimiser l’espace.
Données fournies :
- La route existante est représentée par la droite \(d_1\) dans le plan cartésien, et son équation est \(y = -\frac{3}{4}x + 2\).
- La première nouvelle route, \(d_2\), est planifiée pour être parallèle à \(d_1\) et doit passer par le point \(A(4, 3)\).
- La seconde nouvelle route, \(d_3\), doit être perpendiculaire à \(d_1\) et doit passer par le point \(B(2, -1)\).
Consigne de l’exercice :
1. Trouver l’équation de \(d_2\) : Comme \(d_2\) est parallèle à \(d_1\), déterminez son équation en utilisant le point par lequel elle passe.
2. Trouver l’équation de \(d_3\) : Sachant que \(d_3\) est perpendiculaire à \(d_1\), trouvez son équation en utilisant le point par lequel elle passe.
3. Déterminer si \(d_2\) et \(d_3\) se croisent : Si oui, calculer le point d’intersection.
4. Interprétation : Discutez de l’importance des positions relatives de ces routes dans le contexte de la planification urbaine.
Correction : Analyse des Positions Relatives de Droites
1. Trouver l’équation de \(d_2\)
Données :
- \(d_1 : y = -\frac{3}{4}x + 2 \)
- \( d_2 \text{ est parallèle à } d_1 \text{ et passe par } A(4, 3) \)
Raisonnement :
Puisque \(d_2\) est parallèle à \(d_1\), elle a le même coefficient directeur, \(-\frac{3}{4}\). L’équation de \(d_2\) peut être exprimée sous la forme \(y = mx + b\), où \(m\) est le coefficient directeur et \(b\) l’ordonnée à l’origine.
Pour trouver \(b\), nous substituons \(x\) et \(y\) avec les coordonnées du point \(A\):
\[ 3 = -\frac{3}{4} \times 4 + b \] \[ \quad \Rightarrow \quad 3 = -3 + b \] \[ \quad \Rightarrow \quad b = 6 \]
L’équation de \(d_2\) est donc :
\[ d_2 : y = -\frac{3}{4}x + 6 \]
2. Trouver l’équation de \(d_3\)
Données :
- \( d_1 : y = -\frac{3}{4}x + 2 \)
- \( d_3 \text{ est perpendiculaire à } d_1 \text{ et passe par } B(2, -1) \)
Raisonnement :
Le coefficient directeur d’une droite perpendiculaire à une autre est l’opposé de l’inverse du coefficient directeur de la première droite. Ainsi, le coefficient directeur de \(d_3\) est \(\frac{4}{3}\).
Nous utilisons le point \(B\) pour trouver l’ordonnée à l’origine \(b\) de \(d_3\) :
\[ -1 = \frac{4}{3} \times 2 + b \] \[ \quad \Rightarrow \quad -1 = \frac{8}{3} + b \] \[ \quad \Rightarrow \quad b = -1 – \frac{8}{3} \] \[ = -\frac{11}{3} \]
L’équation de \(d_3\) est donc :
\[ d_3 : y = \frac{4}{3}x – \frac{11}{3} \]
3. Déterminer si \(d_2\) et \(d_3\) se croisent
Calcul du point d’intersection :
Nous égalons les deux équations pour trouver \(x\) :
\[ -\frac{3}{4}x + 6 = \frac{4}{3}x – \frac{11}{3} \] \[ \quad \Rightarrow \quad 6 + \frac{11}{3} = \frac{4}{3}x + \frac{3}{4}x \] \[ \quad \Rightarrow \quad \frac{29}{3} = \frac{25}{12}x \] \[ \quad \Rightarrow \quad x = \frac{29}{3} \times \frac{12}{25} = \frac{116}{25} \]
Substituant \(x\) dans l’une des équations pour trouver \(y\) :
\[ y = -\frac{3}{4} \times \frac{116}{25} + 6 \] \[ y = \frac{14}{25} \]
Le point d’intersection est \((\frac{116}{25}, \frac{14}{25})\).
4. Interprétation
Cette intersection indique que les deux nouvelles routes se croiseront à ce point précis, ce qui est crucial pour la planification de la signalisation routière, des passages piétons, et d’autres infrastructures pour assurer la sécurité et l’efficacité de la circulation dans la nouvelle zone urbaine.
Analyse des Positions Relatives de Droites
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