Coordonnées et Vecteurs dans le Plan Cartésien
Comprendre les Coordonnées et Vecteurs dans le Plan Cartésien
Partie A : Points et Distances
1. Trouver la distance entre les points \(A = (1, 2)\) et \(B = (4, 6)\).
2. Vérifier si le triangle formé par les points \(A = (1, 2)\), \(B = (4, 6)\), et \(C = (6, 3)\) est un triangle isocèle, équilatéral ou scalène.
Partie B : Équations de droites
1. Écrire l’équation de la droite passant par les points \(A\) et \(B\) mentionnés ci-dessus.
2. Déterminer si le point \(C\) se trouve sur la droite passant par \(A\) et \(B\). Justifier votre réponse.
Partie C : Intersection et Vecteurs
1. Soit la droite \(D_1\) l’ensemble des points \((x, y)\) tels que \(y = 2x + 1\) et la droite \(D_2\) l’ensemble des points \((x, y)\) tels que \(y = -x + 5\). Trouver le point d’intersection de \(D_1\) et \(D_2\).
2. Calculer le vecteur normal à la droite \(D_1\) et expliquer son importance.
Correction : Coordonnées et Vecteurs dans le Plan Cartésien
Partie A : Points et Distances
1. Calcul de la distance entre les points A et B :
Pour calculer la distance entre deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\), on utilise la formule de la distance euclidienne :
\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]
Pour \(A = (1, 2)\) et \(B = (4, 6)\) :
\[ d_{AB} = \sqrt{(4 – 1)^2 + (6 – 2)^2} \] \[ d_{AB} = \sqrt{3^2 + 4^2} \] \[ d_{AB} = \sqrt{9 + 16} \] \[ d_{AB} = \sqrt{25} = 5 \]
2. Détermination du type de triangle formé par A, B et C :
Nous calculons les distances entre tous les paires de points pour déterminer le type de triangle :
Distance AC :
\[ d_{AC} = \sqrt{(6 – 1)^2 + (3 – 2)^2} \] \[ d_{AC} = \sqrt{5^2 + 1^2} \] \[ d_{AC} = \sqrt{25 + 1} \] \[ d_{AC} = \sqrt{26} \approx 5.10 \]
Distance BC :
\[ d_{BC} = \sqrt{(6 – 4)^2 + (3 – 6)^2} \] \[ d_{BC} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} \] \[ d_{BC} = \sqrt{4 + 9} \] \[ d_{BC} = \sqrt{13} \approx 3.61 \]
Comme toutes les distances sont différentes, le triangle est scalène.
Partie B : Équations de droites
1. Équation de la droite passant par A et B :
L’équation de la droite passant par deux points \(A(x_1, y_1)\) et \(B(x_2, y_2)\) peut être formulée comme suit en utilisant la pente \(m\) :
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
Pour \(A = (1, 2)\) et \(B = (4, 6)\) :
\[ m_{AB} = \frac{6 – 2}{4 – 1} = \frac{4}{3} \]
L’équation de la droite avec la pente est \(y = mx + b\). Pour trouver \(b\), utilisez un point sur la ligne :
\[ b = y_1 – m \cdot x_1 = 2 – \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \]
Ainsi, l’équation de la droite \(AB\) est :
\[ y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} \]
2. Vérification si C est sur la droite AB :
Substituer \(C = (6, 3)\) dans l’équation de la droite pour vérifier :
\[ 3 \stackrel{?}{=} \frac{4}{3} \times 6 + \frac{2}{3} = 8 + \frac{2}{3} \neq 3 \]
Partie C : Intersection et Vecteurs
1. Point d’intersection de \(D_1\) et \(D_2\)
Les équations de \(D_1\) et \(D_2\) sont données par :
\begin{align*}
D_1 &: y = 2x + 1 \\
D_2 &: y = -x + 5
\end{align*}
Pour trouver le point d’intersection, résolvez ce système d’équations :
\begin{align*}
2x + 1 &= -x + 5 \\
3x &= 4 \\
x &= \frac{4}{3}
\end{align*}
En substituant \(x\) dans l’une des équations pour trouver \(y\), nous obtenons :
\[ y = 2\left(\frac{4}{3}\right) + 1 \] \[ y = \frac{8}{3} + 1 \] \[ y = \frac{11}{3} \]
Ainsi, le point d’intersection est \(\left(\frac{4}{3}, \frac{11}{3}\right)\).
2. Vecteur normal à \(D_1\)
Un vecteur normal à une droite de pente \(m\) est un vecteur \((a, b)\) tel que \(ma + b = 0\). Pour \(D_1\), \(m = 2\), donc :
\[ 2a + b = 0 \]
En choisissant \(a = 1\), on trouve \(b = -2\). Donc, le vecteur normal à \(D_1\) est \((1, -2)\).
Coordonnées et Vecteurs dans le Plan Cartésien
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