Étude de la Convergence de Deux Suites
Comprendre l’Étude de la Convergence de Deux Suites
Partie A: Suite Définie Explicitement
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :
\[ u_n = \frac{3n^2 – 2n + 1}{2n^2 + 3n + 5} \]
1. Démontrez que la suite \((u_n)\) est bien définie pour tout entier naturel \(n\).
2. Calculez les trois premiers termes de la suite \((u_n)\).
3. Démontrez que la suite \((u_n)\) est convergente.
4. Déterminez la limite de la suite \((u_n)\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Partie B: Suite Définie par Récurrence
Considérons maintenant la suite \((v_n)\) définie par la relation de récurrence suivante :
\[ \begin{cases}
v_0 = 1 \\
v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n + 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}
\end{cases} \]
1. Démontrez que la suite \((v_n)\) est croissante.
2. Démontrez que la suite \((v_n)\) est majorée.
3. Démontrez que la suite \((v_n)\) est convergente.
4. Déterminez la limite de la suite \((v_n)\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Correction : Étude de la Convergence de Deux Suites
Partie A: Suite Définie Explicitement
1. Définition de la suite \((u_n)\):
La suite est définie pour tout entier naturel \(n\) par:
\[ u_n = \frac{3n^2 – 2n + 1}{2n^2 + 3n + 5} \]
Pour tout entier naturel \(n\), le dénominateur \(2n^2 + 3n + 5\) est strictement positif, donc la suite \((u_n)\) est bien définie pour tout entier naturel \(n\).
2. Calcul des trois premiers termes:
- Pour \(n=0\),
\[ u_0 = \frac{3(0)^2 – 2(0) + 1}{2(0)^2 + 3(0) + 5} = \frac{1}{5} \]
- Pour \(n=1\),
\[ u_1 = \frac{3(1)^2 – 2(1) + 1}{2(1)^2 + 3(1) + 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
- Pour \(n=2\),
\[ u_2 = \frac{3(2)^2 – 2(2) + 1}{2(2)^2 + 3(2) + 5} = \frac{11}{19} \]
3. & 4. Convergence et limite de la suite \((u_n)\):
Pour déterminer la limite de la suite lorsque \(n\) tend vers l’infini, on divise le numérateur et le dénominateur par \(n^2\):
\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3 – \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2}} = \frac{3}{2} \]
La suite \((u_n)\) converge donc vers \(\frac{3}{2}\).
Partie B: Suite Définie par Récurrence
1. Croissance de la suite \((v_n)\):
Pour démontrer que la suite est croissante, on montre que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(v_{n+1} \geq v_n\):
\[ v_{n+1} – v_n = \frac{1}{2}v_n + 1 – v_n = 1 – \frac{1}{2}v_n \]
Comme \(v_0 = 1\), on peut voir par récurrence que \(v_{n+1} > v_n\), donc la suite est croissante.
2. Majoration de la suite \((v_n)\):
Pour prouver que la suite est majorée, supposons que la suite converge vers \(L\). En passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient:
\[ L = \frac{1}{2}L + 1 \Rightarrow L = 2 \]
Ainsi, la suite est majorée par 2.
3. & 4. Convergence et limite de la suite \((v_n)\):
Puisque la suite \((v_n)\) est croissante et majorée, elle est convergente. La limite a été trouvée dans l’étape précédente en utilisant l’équation caractéristique de la relation de récurrence, donc \(L = 2\).
La suite \((v_n)\) converge donc vers 2.
Étude de la Convergence de Deux Suites
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