Exercices Variés sur les Racines Carrées

Comprendre les Exercices Variés sur les Racines Carrées

Partie A: Simplification et Calcul

1. Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les propriétés des racines carrées, si possible :

a. \[\sqrt{36}\]

b. \[\sqrt{18}\]

c. \[2\sqrt{9} + 3\sqrt{4}\]

2. Calculez la valeur exacte des expressions suivantes, si possible :

a \[\sqrt{49} – \sqrt{9}\]

b. \[4\sqrt{25} + 2\sqrt{16}\]

c. \[\sqrt{12} \times \sqrt{3}\]

Partie B: Application des Racines Carrées

1. Trouvez la longueur de la diagonale \(d\) d’un carré dont le côté mesure 5 cm. Utilisez la formule \(d = a\sqrt{2}\), où \(a\) est la longueur du côté du carré.

2. Un terrain rectangulaire a une longueur de 24 mètres et une largeur de 18 mètres. Calculez la distance entre deux coins opposés du terrain.

Partie C: Problèmes de Mots

1. Problème de l’escalier : Un escalier mène à une plate-forme. Si chaque marche a une hauteur de 20 cm et une profondeur de 20 cm, quelle est la longueur de l’hypoténuse (côté le plus long) d’une marche? Supposons que la marche forme un triangle rectangle.

2. Calcul de l’aire : Un terrain en forme de cercle a un rayon de 14 mètres. Calculez l’aire du terrain en utilisant la formule \(A = \pi r^2\). Vous pouvez arrondir \(\pi\) à 3,14 pour simplifier vos calculs. Ensuite, calculez la racine carrée de l’aire obtenue pour vérifier votre compréhension.

Correction : Exercices Variés sur les Racines Carrées

Partie A: Simplification et Calcul

1. Simplification des expressions :

a. \[ \sqrt{36} = 6 \] car 6 est le nombre positif dont le carré donne 36.

b. \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} \] \[ = \sqrt{9} \times \sqrt{2} \] \[ = 3\sqrt{2} \] car 9 est un carré parfait et \(\sqrt{9} = 3\).

c. \[ 2\sqrt{9} + 3\sqrt{4} = 2 \times 3 + 3 \times 2 \] \[ = 6 + 6 = 12 \] en utilisant \(\sqrt{9} = 3\) et \(\sqrt{4} = 2\)

2. Calcul des valeurs exactes :

a. \[ \sqrt{49} – \sqrt{9} = 7 – 3 = 4 \] car \(\sqrt{49} = 7\) et \(\sqrt{9} = 3\).

b. \[ 4\sqrt{25} + 2\sqrt{16} = 4 \times 5 + 2 \times 4 \] \[ = 20 + 8 = 28 \] car \(\sqrt{25} = 5\) et \(\sqrt{16} = 4\).

c. \[ \sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6 \] car \(12 \times 3 = 36\) et \(\sqrt{36} = 6\).

Partie B: Application des Racines Carrées

1. Longueur de la diagonale d’un carré :

La longueur de la diagonale \(d\) d’un carré dont le côté mesure 5 cm est calculée par \(d = 5\sqrt{2}\).

Donc, \[d \approx 5 \times 1.414 = 7.07\, \text{cm} \]

2. Distance entre deux coins opposés d’un terrain rectangulaire :

Utilisons le théorème de Pythagore, \(d = \sqrt{l^2 + w^2}\), où \(l = 24\) m et \(w = 18\) m.

\[d = \sqrt{24^2 + 18^2} \] \[= \sqrt{576 + 324} \] \[= \sqrt{900} = 30\, \text{m}\]

Partie C: Problèmes de Mots

1. Problème de l’escalier :

La longueur de l’hypoténuse \(h\) d’une marche est donnée par

\[ h = \sqrt{20^2 + 20^2} \] \[ = \sqrt{400 + 400} \] \[ = \sqrt{800} \]

\(h = 20\sqrt{2}\) cm, donc \(h \approx 20 \times 1.414 = 28.28\) cm.

2. Calcul de l’aire d’un terrain circulaire :

Avec un rayon \(r = 14\) m, l’aire \(A\) est calculée par \(A = \pi r^2 = 3.14 \times 14^2\).

\[ A = 3.14 \times 196 = 615.44\, \text{m}^2 \]

La racine carrée de l’aire est \(\sqrt{615.44} \approx 24.81\) m, ce qui n’a pas de signification géométrique directe dans ce contexte mais montre comment inverser le processus de calcul de l’aire.