Exercices Variés sur les Racines Carrées
Comprendre les Exercices Variés sur les Racines Carrées
Nous vous proposons de travailler sur la simplification et le calcul d’expressions contenant des racines carrées. Vous devrez ensuite utiliser les racines carrées pour résoudre des problèmes géométriques concrets.
Questions :
Partie A: Simplification et Calcul
1. Simplifiez les expressions suivantes en utilisant les propriétés des racines carrées, si possible :
a. \[\sqrt{36}\]
b. \[\sqrt{18}\]
c. \[2\sqrt{9} + 3\sqrt{4}\]
2. Calculez la valeur exacte des expressions suivantes, si possible :
a \[\sqrt{49} – \sqrt{9}\]
b. \[4\sqrt{25} + 2\sqrt{16}\]
c. \[\sqrt{12} \times \sqrt{3}\]
Partie B: Application des Racines Carrées
1. Trouvez la longueur de la diagonale \(d\) d’un carré dont le côté mesure 5 cm. Utilisez la formule \(d = a\sqrt{2}\), où \(a\) est la longueur du côté du carré.
2. Un terrain rectangulaire a une longueur de 24 mètres et une largeur de 18 mètres. Calculez la distance entre deux coins opposés du terrain.
Partie C: Problèmes de Mots
1. Problème de l’escalier : Un escalier mène à une plate-forme. Si chaque marche a une hauteur de 20 cm et une profondeur de 20 cm, quelle est la longueur de l’hypoténuse (côté le plus long) d’une marche? Supposons que la marche forme un triangle rectangle.
2. Calcul de l’aire : Un terrain en forme de cercle a un rayon de 14 mètres. Calculez l’aire du terrain en utilisant la formule \(A = \pi r^2\). Vous pouvez arrondir \(\pi\) à 3,14 pour simplifier vos calculs. Ensuite, calculez la racine carrée de l’aire obtenue pour vérifier votre compréhension.
Correction : Exercices Variés sur les Racines Carrées
Partie A : Simplification et Calcul
1. Simplification des expressions :
a. \(\sqrt{36}\) :
Comme \(36 = 6^2\), on a :
\[\sqrt{36} = 6.\]
b. \(\sqrt{18}\) :
On écrit \(18 = 9 \times 2\), donc :
\[\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}.\]
c. \(2\sqrt{9} + 3\sqrt{4}\) :
En remarquant que \(\sqrt{9} = 3\) et \(\sqrt{4} = 2\), nous obtenons :
\[2\sqrt{9} + 3\sqrt{4} = 2 \times 3 + 3 \times 2 = 6 + 6 = 12.\]
2. Calcul des valeurs exactes
a. \(\sqrt{49} – \sqrt{9}\) :
Puisque \(49 = 7^2\) et \(9 = 3^2\), on a :
\[\sqrt{49} = 7 et \sqrt{9} = 3.\]
Ainsi,
\[\sqrt{49} – \sqrt{9} = 7 – 3 = 4.\]
b. \(4\sqrt{25} + 2\sqrt{16}\) :
Sachant que \(25 = 5^2\) et \(16 = 4^2\), nous avons :
\[\sqrt{25} = 5 et \sqrt{16} = 4.\]
D’où :
\[4\sqrt{25} + 2\sqrt{16} = 4 \times 5 + 2 \times 4 = 20 + 8 = 28.\]
c. \(\sqrt{12} \times \sqrt{3}\) :
En utilisant la propriété de la multiplication sous une racine :
\[\sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{12 \times 3} = \sqrt{36} = 6.\]
Partie B : Application des Racines Carrées
1. Longueur de la diagonale d’un carré :
La formule de la diagonale d’un carré est calculée par :
\[d = a\sqrt{2},\] avec \(a = 5\) cm.
Donc :
\[d = 5\sqrt{2} cm.\]
\[d= 30 m.\]
2. Distance entre deux coins opposés d’un terrain rectangulaire :
Pour un rectangle, la diagonale se calcule avec le théorème de Pythagore :
\[d = \sqrt{L^2 + l^2},\] où \(L = 24\) m et \(l = 18\) m.
Calculons :
\[24^2 = 576 et 18^2 = 324.\]
Ainsi,
\[d = \sqrt{576 + 324}\]
\[d = \sqrt{900}\]
\[d= 30 m\].
Partie C : Problèmes de Mots
1. Problème de l’escalier
Chaque marche forme un triangle rectangle dont la hauteur et la profondeur mesurent 20 cm chacune.
D’après le théorème de Pythagore, la longueur de l’hypoténuse \(h\) est :
\[h = \sqrt{(20)^2 + (20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800}.\]
On peut simplifier \(\sqrt{800}\) en remarquant que :
\[\sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = \sqrt{400} \times \sqrt{2} = 20\sqrt{2} cm.\]
2. Calcul de l’aire d’un terrain circulaire
Le rayon du cercle est \(r = 14\) m.
L’aire \(A\) du cercle est donnée par :
\[A = \pi r^2.\]
En utilisant \(\pi \approx 3,14\) :
\[A = 3,14 \times 14^2\]
\[A = 3,14 \times 196\]
\[A = 615,44 m^2.\]
Maintenant, calculons la racine carrée de l’aire :
\[\sqrt{615,44} \approx 24,80.\]
(Cette valeur est approchée et obtenue à l’aide d’une calculatrice.)
Résumé des Résultats
Partie A : Simplification et Calcul
- \(\sqrt{36} = 6\)
- \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
- \(2\sqrt{9} + 3\sqrt{4} = 12\)
- \(\sqrt{49} – \sqrt{9} = 4\)
- \(4\sqrt{25} + 2\sqrt{16} = 28\)
- \(\sqrt{12} \times \sqrt{3} = 6\)
Partie B : Application des Racines Carrées
- Diagonale d’un carré de côté 5 cm : \(d = 5\sqrt{2}\) cm
- Diagonale d’un rectangle de dimensions 24 m et 18 m : \(d = 30\) m
Partie C : Problèmes de Mots
- Longueur de l’hypoténuse d’une marche (20 cm de hauteur et 20 cm de profondeur) : \(h = 20\sqrt{2}\) cm
- Aire d’un terrain circulaire de rayon 14 m : \(A \approx 615,44\) m\(^2\)
- Racine carrée de l’aire \(\sqrt{615,44} \approx 24,80\)
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