Manipulation d’Intervalles sur la Droite Réelle
Comprendre la Manipulation d’Intervalles sur la Droite Réelle
Sur une droite réelle, vous devez représenter graphiquement les intervalles suivants en indiquant clairement, à l’aide de points ouverts (non inclus) et fermés (inclus), les extrémités de chaque intervalle.
Partie A : Représentation et Interprétation
1. Représentation d’Intervalles : Dessinez sur une droite réelle les intervalles suivants :
- \(A = ]-3, 4]\)
- \(B = [2, 5[\)
- \(C = ]-\infty, -1]\)
- \(D = ]0, +\infty[\)
2. Interprétation d’Intervalles : Pour chacun des intervalles suivants, écrivez en mots ce qu’ils représentent sur la droite réelle :
- \(E = ]-2, 3]\): Tous les nombres réels plus grands que -2 et jusqu’à 3 inclus.
- \(F = [5, 5]\): Le nombre 5 uniquement.
\(G = ]-\infty, 2[ \cup ]2, +\infty[\): Tous les nombres réels sauf le nombre 2.
Partie B : Opérations sur les Intervalles
1. Intersection d’Intervalles : Déterminez l’intersection des intervalles \(A\) et \(B\) définis dans la Partie A. Représentez graphiquement le résultat de cette intersection sur la droite réelle.
2. Union d’Intervalles : Calculez l’union des intervalles \(C\) et \(D\). Illustrer cette union sur la droite réelle.
3. Différence d’Intervalles : Considérez l’intervalle \(H = [-1, 3]\). Calculez et représentez graphiquement la différence \(H \setminus B\).
Partie C : Application
Considérons les intervalles \(I = [-2, 3]\) et \(J = [0, 5]\).
1.Intersection et Union:
Calculez \(I \cap J\) et \(I \cup J\). Représentez ces deux résultats sur une droite réelle.
2. Complémentaire:
Trouvez le complémentaire de l’union \(I \cup J\) dans l’ensemble des réels \(\mathbb{R}\). Représentez-le sur la droite réelle.
Correction : Manipulation d’Intervalles sur la Droite Réelle
Partie A : Représentation et Interprétation
1. Représentation d’Intervalles
-
Intervalle A = ]−3,4]
Représentez une droite réelle avec un point ouvert en -3 (non inclus) et un point fermé en 4 (inclus). Tracez une ligne entre ces deux points.
- Intervalle B = [2,5[
Sur la même ou une autre droite réelle, placez un point fermé en 2 (inclus) et un point ouvert en 5 (non inclus). La portion entre 2 et 5 doit être coloriée ou indiquée comme appartenant à l’intervalle.
- Intervalle C = ]−∞,−1]
Ici, tracez la droite réelle depuis les très petites valeurs (vers – ∞). Marquez la fin de l’intervalle à -1 avec un point fermé (inclus) et une flèche indiquant que l’intervalle s’étend indéfiniment vers la gauche.
- Intervalle D = ]0,+∞[
Pour cet intervalle, commencez juste après 0 (point ouvert à 0) et tracez une flèche vers la droite (pour +∞), indiquant que tous les nombres supérieurs à 0 appartiennent à cet intervalle.
2. Interprétation d’Intervalles
-
Intervalle E = ]−2,3]
« Tous les nombres réels plus grands que \(-2\) (non inclus) et jusqu’à \(3\) inclus. »
- Intervalle F = [5,5]
« Le nombre \(5\) uniquement. » (Ici, l’intervalle contient un unique point puisque la borne inférieure et la borne supérieure sont identiques et incluses.)
-
Intervalle G = ]−∞,2[ ∪ ]2,+∞[
« Tous les nombres réels sauf le nombre \(2\). » (L’intervalle couvre l’ensemble de \(\mathbb{R}\) à l’exception de \(2\), qui n’est ni dans la première partie ni dans la seconde.)
Partie B : Opérations sur les Intervalles
1. Intersection d’intervalles : Calcul de \(A \cap B\)
On a :
\[A = ]-3,4] \]
\[B = [2,5[\].
Analyse:
L’intervalle \(A\) contient tous les nombres entre \(-3\) (non inclus) et \(4\) (inclus), tandis que \(B\) contient ceux de \(2\) (inclus) à \(5\) (non inclus). L’intersection correspond à la zone où les deux intervalles se recouvrent.
Résultat :
Les nombres communs vont de \(2\) à \(4\). Comme \(2\) appartient à \(B\) et \(4\) est inclus dans \(A\), l’intersection est \([2,4]\).
Représentation graphique ::
Sur une droite réelle, tracez un point fermé en \(2\) et un point fermé en \(4\), et coloriez la portion entre ces deux points.
2. Union d’intervalles : Calcul de \(C \cup D\)
On a :
\[C = ]-\infty,-1]\]
\[D = ]0,+\infty[.\]
Analyse :
L’intervalle \(C\) représente tous les nombres inférieurs ou égaux à \(-1\), et \(D\) représente tous les nombres strictement supérieurs à \(0\). Ces deux intervalles sont disjoints (ils ne se recouvrent pas).
Résultat :
L’union est simplement l’ensemble formé par les deux parties, c’est-à-dire :
\[]-\infty,-1] \cup ]0,+\infty[.\]
Représentation graphique :
Sur la droite réelle, tracez une flèche allant de \(-\infty\) jusqu’à \(-1\) avec un point fermé en \(-1\), et une autre flèche allant de \(0\) vers \(+\infty\) avec un point ouvert en \(0\).
3. Différence d’intervalles : Calcul de \(H \setminus B\)
On a :
\[H = [-1,3]\]
\[B = [2,5[. \]
Analyse :
L’intervalle \(H\) contient les nombres de \(-1\) à \(3\) (les deux bornes incluses).
\(B\) contient les nombres de \(2\) à \(5\), avec \(2\) inclus et \(5\) non inclus.
La partie commune \(H \cap B\) est donc \([2,3]\) (car \(2\) est dans \(H\) et \(B\), et \(3\) est dans \(H\) et, étant inférieur à \(5\), aussi dans \(B\)).
Calcul de la différence :
En retirant \([2,3]\) de \(H\), il reste les nombres de \(-1\) à \(2\) (avec \(-1\) inclus et \(2\) exclu, car \(2\) appartient à l’intersection retirée).
Résultat :
\[H \setminus B = [-1,2).\]
Représentation graphique :
Sur la droite réelle, tracez un point fermé en \(-1\) et un point ouvert en \(2\), et coloriez la portion entre ces deux points.
Partie C : Application
Considérons les intervalles
\[I = [-2,3]\]
\[J = [0,5].\]
1. Intersection et Union
- Intersection \(I \cap J\) :
\[I = [-2,3]\]
\[J = [0,5]\].
Analyse :
L’intervalle \(I\) va de \(-2\) à \(3\) et \(J\) de \(0\) à \(5\).
La zone de recouvrement est de \(0\) à \(3\), puisque \(0\) est le maximum de la borne inférieure et \(3\) le minimum de la borne supérieure.
Résultat :
\[I \cap J = [0,3] (avec 0 et 3 inclus).\]
Représentation graphique :
Sur une droite réelle, tracez un point fermé en \(0\) et un point fermé en \(3\), et coloriez la portion entre ces deux points.
- Union \(I \cup J\) :
Analyse :
L’union doit contenir tous les points qui se trouvent dans \(I\) ou dans \(J\).
\(I\) couvre de \(-2\) à \(3\) et \(J\) de \(0\) à \(5\) ; l’union sera donc l’intervalle continu allant du plus petit point \(-2\) jusqu’au plus grand \(5\).
Résultat :
\[I \cup J = [-2,5] \quad (\text{avec } -2 \text{ et } 5 \text{ inclus}).\]
Représentation graphique :
Sur la droite réelle, tracez un point fermé en \(-2\) et un point fermé en \(5\), et coloriez la portion continue entre ces deux points.
2. Complémentaire de l’union \(I \cup J\) dans \(\mathbb{R}\)
Analyse :
\(I \cup J = [-2,5]\).
Le complémentaire dans \(\mathbb{R}\) est l’ensemble de tous les nombres réels qui ne se trouvent pas dans \([-2,5]\).
Résultat :
Le complémentaire est composé de deux parties :
\[]-\infty,-2[ \quad \text{et} \quad ]5,+\infty[.\]
(Ici, \(-2\) et \(5\) ne sont pas inclus dans le complémentaire.)
Représentation graphique :
Sur la droite réelle, tracez une flèche qui s’étend de \(-\infty\) jusqu’à \(-2\) (point ouvert en \(-2\)) et une autre flèche qui part de \(5\) (point ouvert en \(5\)) vers \(+\infty\).
Résumé des Résultats
- Partie A :
Représentations graphiques :
A = ]-3,4]
B = [2,5[
C = ]−∞,−1]
D = ]0,+∞[ - Interprétations en mots :
E = ]-2,3] : Tous les nombres réels plus grands que \(-2\) et jusqu’à \(3\) inclus.
F = [5,5] : Le nombre \(5\) uniquement.
G = ]]−∞,2[ ∪ ]2,+∞[ : Tous les nombres réels sauf le nombre \(2\). - Partie B :
Intersection \(A \cap B = [2,4]\). (Graphiquement : segment fermé entre \(2\) et \(4\).)
Union \(C \cup D\) = ]−∞,−1]∪]0,+∞[.
(Graphiquement : deux parties séparées, une à gauche de \(-1\) et une à droite de \(0\).)
Différence \(H \setminus B\) (avec \(H = [-1,3]\) et \(B = [2,5[\)) \(=\ [-1,2)\).
(Graphiquement : segment fermé en \(-1\) et ouvert en \(2\).) - Partie C :
Pour \(I = [-2,3]\) et \(J = [0,5]\) : - Intersection \(I \cap J = [0,3]\).
Union \(I \cup J = [-2,5]\).
Complémentaire de \(I \cup J\) dans ]−∞,−2[et]5,+∞[.
(Graphiquement : parties non comprises dans l’intervalle \([-2,5]\).)
Manipulation d’Intervalles sur la Droite Réelle
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