Manipulation d’Intervalles sur la Droite Réelle

Comprendre la Manipulation d’Intervalles sur la Droite Réelle

Partie A : Représentation et Interprétation

1. Représentation d’Intervalles : Dessinez sur une droite réelle les intervalles suivants :

• \(A = ]-3, 4]\)
• \(B = [2, 5[\)
• \(C = ]-\infty, -1]\)
• \(D = ]0, +\infty[\)

2. Interprétation d’Intervalles : Pour chacun des intervalles suivants, écrivez en mots ce qu’ils représentent sur la droite réelle :

• \(E = ]-2, 3]\): Tous les nombres réels plus grands que -2 et jusqu’à 3 inclus.
• \(F = [5, 5]\): Le nombre 5 uniquement.
  \(G = ]-\infty, 2[ \cup ]2, +\infty[\): Tous les nombres réels sauf le nombre 2.

Partie B : Opérations sur les Intervalles

1. Intersection d’Intervalles : Déterminez l’intersection des intervalles \(A\) et \(B\) définis dans la Partie A. Représentez graphiquement le résultat de cette intersection sur la droite réelle.

2. Union d’Intervalles : Calculez l’union des intervalles \(C\) et \(D\). Illustrer cette union sur la droite réelle.

3. Différence d’Intervalles : Considérez l’intervalle \(H = [-1, 3]\). Calculez et représentez graphiquement la différence \(H \setminus B\).

Partie C : Application

Considérons les intervalles \(I = [-2, 3]\) et \(J = [0, 5]\).

1.Intersection et Union:

Calculez \(I \cap J\) et \(I \cup J\). Représentez ces deux résultats sur une droite réelle.

2. Complémentaire:

Trouvez le complémentaire de l’union \(I \cup J\) dans l’ensemble des réels \(\mathbb{R}\). Représentez-le sur la droite réelle.

Correction : Manipulation d’Intervalles sur la Droite Réelle

Partie A : Représentation et Interprétation

1. Représentation d’Intervalles

• Intervalle (A):

\[ A = ]-3, 4] \]

Cet intervalle commence juste après -3 (non inclus) et se termine à 4 (inclus). Sur la droite réelle, cela se représente par un cercle ouvert sur -3 et un cercle fermé sur 4.

• Intervalle \(B\):

\[ B = [2, 5[ \]

Cet intervalle commence à 2 (inclus) et se termine juste avant 5 (non inclus). Sur la droite, cela est représenté par un cercle fermé sur 2 et un cercle ouvert sur 5.

• Intervalle \(C\):

\[ C = ]-\infty, -1] \]

Cet intervalle part de l’infini négatif jusqu’à -1 inclus. Sur la droite réelle, cela se traduit par une flèche partant de gauche vers un cercle fermé sur -1.

• Intervalle \(D\):

\[ D = ]0, +\infty[ \]

Cet intervalle va de juste après 0 (non inclus) à l’infini positif. Cela se dessine par un cercle ouvert sur 0 et une flèche allant vers la droite.

2. Interprétation d’Intervalles

• \(E = ]-2, 3]\): Cet intervalle inclut tous les nombres réels plus grands que -2 et jusqu’à 3 inclus.
• \(F = [5, 5]\): Cet intervalle représente un seul nombre, 5, car il commence et se termine à 5.
• \(G = ]-\infty, 2[ \cup ]2, +\infty[\): Cet intervalle représente tous les nombres réels sauf 2, c’est-à-dire l’ensemble des réels sans le point 2.

Partie B : Opérations sur les Intervalles

1. Intersection d’Intervalles : \(A \cap B\)

Les intervalles donnés sont \(A = \left] -3, 4 \right]\) et \(B = [2, 5[\)

L’intersection de \(A\) et \(B\) est l’ensemble des points qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\). Sur la droite réelle, cela correspond à l’ensemble des points qui sont à la fois plus grands que -3 (non inclus) et plus petits que 4 (inclus), et en même temps, plus grands ou égaux à 2 et strictement plus petits que 5.

Par conséquent, l’intersection \(A \cap B\) est \(\left] 2, 4 \right]\). Cela signifie que l’intervalle commence juste après 2 (non inclus) et va jusqu’à 4 (inclus).

2. Union d’Intervalles : \(C \cup D\)

Les intervalles sont \(C = \left] -\infty, -1 \right]\) et _(D = \left] 0, +\infty \right[\)

L’union de \(C\) et \(D\) représente l’ensemble des points appartenant à \(C\) ou à \(D\) (ou les deux). \(C\) couvre tous les points strictement inférieurs à -1 (inclus), tandis que \(D\) couvre tous les points strictement supérieurs à 0.

Par conséquent, l’union \(C \cup D\) est composée de deux parties disjointes : \(\left] -\infty, -1 \right]\) et \(\left] 0, +\infty \right[\), ce qui signifie que tous les points sauf ceux dans l’intervalle \(\left] -1, 0 \right]\) sont inclus.

3. Différence d’Intervalles : \(H \setminus B\)

L’intervalle \(H\) est donné par \(H = [-1, 3]\), et \(B = [2, 5[\)

La différence \(H \setminus B\) représente l’ensemble des points qui sont dans \(H\) mais pas dans \(B\). Puisque \(B\) commence à 2 et va jusqu’à un peu moins de 5, et \(H\) va de -1 (inclus) à 3 (inclus), la différence consiste en tous les points de \(H\) jusqu’au début de \(B\), c’est-à-dire de -1 à juste avant 2.

Ainsi, la différence \(H \setminus B\) est \([-1, 2[\).

Partie C : Application

1. Intersection et Union des Intervalles \(I\) et \(J\)

Avec \(I = [-2, 3]\) et \(J = [0, 5]\), procédons comme suit :

• Intersection (\(I \cap J\)):

Les éléments communs à \(I\) et \(J\) sont ceux compris entre 0 (inclus) et 3 (inclus), car ces valeurs appartiennent à la fois à \(I\) et à \(J\). Donc, \(I \cap J = [0, 3]\).

• Union (\(I \cup J\)):

L’union comprend tous les éléments de \(I\) et de \(J\), couvrant sans interruption de -2 à 5. Donc, \(I \cup J = [-2, 5]\).

• Complémentaire de \(I \cup J\) dans \(\mathbb{R}\):

Le complémentaire de \(I \cup J\) dans \(\mathbb{R}\) inclut tous les points qui ne sont pas dans l’union de \(I\) et \(J\). Puisque \(I \cup J = [-2, 5]\), le complémentaire est constitué de deux parties : une s’étendant de l’infini négatif à -2 (non inclus) et l’autre de 5 (non inclus) à l’infini positif.

Ainsi, le complémentaire est \( ]-\infty, -2[ \cup ]5, +\infty[ \)

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