Parallélisme et Perpendicularité

Comprendre le Parallélisme et Perpendicularité

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), On considère les points \(A(1, 2)\), \(B(3, 5)\), \(C(-1, y)\) et \(D(x, 1)\).

Partie A: Parallélisme

1. Calcul des coefficients directeurs :

• Déterminez le coefficient directeur de la droite \((AB)\).
• Exprimez le coefficient directeur de la droite \((CD)\) en fonction de \(y\).

2. Condition de parallélisme :

• Écrivez la condition pour que les droites \((AB)\) et \((CD)\) soient parallèles.
• Trouvez la valeur de \(y\) pour que \((AB)\) et \((CD)\) soient parallèles.

Partie B: Perpendicularité

1. Coefficient directeur de \((AD)\) :

• Exprimez le coefficient directeur de la droite \((AD)\) en fonction de \(x\).

2. Condition de perpendicularité :

• Écrivez la condition pour que les droites \((AB)\) et \((AD)\) soient perpendiculaires.
• Résolvez cette condition pour trouver la valeur de \(x\).

Partie C: Application et vérification

• Avec les valeurs de \(x\) et \(y\) trouvées, vérifiez si le quadrilatère formé par les points \(A\), \(B\), \(C\), et \(D\) a des côtés opposés qui sont à la fois parallèles et perpendiculaires.
• Calculez les distances \(AB\) et \(CD\) pour vérifier si elles sont égales, ce qui pourrait indiquer que \(ABCD\) est un rectangle ou un parallélogramme particulier.

Correction : Parallélisme et Perpendicularité

Partie A: Parallélisme

1. Calcul des coefficients directeurs:

• Coefficient directeur de la droite (AB):

\[ m_{AB} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \] \[ m_{AB} = \frac{5 – 2}{3 – 1} \] \[ m_{AB} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Coefficient directeur de la droite (CD) en fonction de \(y\):

\[ m_{CD} = \frac{y – 2}{-1 – 1} \] \[ m_{CD} = \frac{y – 2}{-2} \]

2. Condition de parallélisme:

• Condition pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles:

\[ m_{AB} = m_{CD} \Rightarrow 1.5 = \frac{y – 2}{-2} \]

• Trouver la valeur de \(y\):

\[ 1.5 = \frac{y – 2}{-2} \Rightarrow -3 = y – 2 \Rightarrow y = -1 \]

Partie B: Perpendicularité

1. Coefficient directeur de (AD):

• Expression en fonction de \(x\):

\[ m_{AD} = \frac{1 – 2}{x – 1} = \frac{-1}{x – 1} \]

2. Condition de perpendicularité:

• Condition pour que (AB) et (AD) soient perpendiculaires:

\[ m_{AB} \cdot m_{AD} = -1 \] \[ \Rightarrow 1.5 \cdot \frac{-1}{x – 1} = -1 \]

• Résoudre pour \(x\):

\[ 1.5 \cdot \frac{-1}{x – 1} = -1 \] \[ \Rightarrow x – 1 = 1.5 \] \[ \Rightarrow x = 2.5 \]

Partie C: Application et Vérification

• Avec \(y = -1\) et \(x = 2.5\), nous reconsidérons les points \(C(-1, -1)\) et \(D(2.5, 1)\).
• Vérification des distances \(AB\) et \(CD\) pour suggérer un rectangle ou un parallélogramme spécial n’est pas réalisée ici sans indication explicite, mais les élèves pourraient être invités à le faire pour approfondir l’analyse.

Parallélisme et Perpendicularité

D’autres exercices de geometrie premiere:

• Parallèles et Perpendiculaires dans un Rectangle