Résolution d’Inéquations en Contexte Réel
Comprendre la Résolution d’Inéquations en Contexte Réel
Julie travaille comme graphiste freelance et est payée par projet. Elle a une offre pour deux types de projets ce mois-ci : des affiches et des brochures.
Pour chaque affiche réalisée, elle gagne 50 euros, tandis que chaque brochure lui rapporte 30 euros. Julie a besoin de gagner au moins 1000 euros ce mois-ci pour couvrir ses dépenses.
Cependant, en raison de ses autres engagements, elle ne peut pas travailler sur plus de 25 projets au total.
Julie veut savoir combien de chaque type de projet elle doit réaliser au minimum pour atteindre son objectif financier sans dépasser sa limite de projets.
Données:
- Gains par affiche : 50 euros
- Gains par brochure : 30 euros
- Gain minimal requis : 1000 euros
- Nombre maximal de projets : 25
Questions:
1. Soit \(a\) le nombre d’affiches et \(b\) le nombre de brochures que Julie doit réaliser. Formulez une inéquation pour représenter le gain total que Julie doit atteindre.
2. Exprimez également une inéquation représentant la limite maximale de projets que Julie peut gérer.
3. Déterminez graphiquement ou par calcul les valeurs possibles pour \(a\) et \(b\) qui satisfont les deux inéquations.
Correction : Résolution d’Inéquations en Contexte Réel
Nous utilisons deux inéquations pour résoudre le problème de Julie :
– \( 50a + 30b \geq 1000 \) (Inéquation de gain)
– \( a + b \leq 25 \) (Inéquation de capacité)
Étape 1: Analyser les inéquations
- Inéquation de gain : \(50a + 30b \geq 1000\)
Julie doit gagner au moins 1000 euros. Chaque affiche lui rapporte 50 euros et chaque brochure 30 euros.
- Inéquation de capacité : \(a + b \leq 25\)
Julie ne peut pas travailler sur plus de 25 projets.
Étape 2: Isoler une variable
Nous choisissons d’isoler \(b\) dans l’inéquation de capacité de travail :
\[ b \leq 25 – a \]
Étape 3: Substituer et résoudre
Nous substituons \(b\) dans l’inéquation de gain :
\[ 50a + 30(25 – a) \geq 1000 \]
Simplifions cette inéquation :
\[ 50a + 750 – 30a \geq 1000 \] \[ 20a + 750 \geq 1000 \] \[ 20a \geq 250 \] \[ a \geq 12.5 \]
Puisque \(a\) doit être un nombre entier, nous arrondissons à l’entier supérieur le plus proche, soit \(a = 13\).
Étape 4: Vérifier la solution
Substituons \(a = 13\) dans l’inéquation pour \(b\) :
\[ b \leq 25 – 13 \] \[ b \leq 12 \]
Maintenant, vérifions si ce couple \((a, b) = (13, 12)\) satisfait l’inéquation de gain :
\[ = 50 \times 13 + 30 \times 12 \] \[ = 650 + 360 \] \[ = 1010 \]
Conclusion
Julie gagne 1010 euros, ce qui est supérieur à 1000 euros. Les valeurs \(a = 13\) et \(b = 12\) satisfont donc les deux inéquations :
- Elle ne dépasse pas son quota de 25 projets.
- Elle gagne suffisamment pour couvrir ses dépenses.
Julie peut choisir de réaliser 13 affiches et 12 brochures pour atteindre ses objectifs financiers et respecter ses contraintes de capacité de travail. Cette solution montre comment manipuler des expressions algébriques pour résoudre des problèmes pratiques utilisant des inéquations.
Résolution d’Inéquations en Contexte Réel
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