Triangle Équilatéral et Tangentes dans un Cercle
Comprendre le Triangle Équilatéral et Tangentes dans un Cercle
On considère un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon 6 cm. Un triangle équilatéral \(ABC\) est inscrit dans le cercle, ce qui signifie que les trois sommets \(A\), \(B\), et \(C\) sont sur le cercle.
Questions :
1. Calcul de périmètre :
- Calculer le périmètre du triangle équilatéral \(ABC\).
2. Tangente au cercle :
- Une tangente au cercle \(\mathcal{C}\) touche le cercle au point \(B\). Soit \(D\) le point où cette tangente intersecte une ligne prolongée à partir du segment \(AC\), formant un angle droit avec \(AC\) en \(D\). Calculer la distance \(BD\).
3. Utilisation des angles :
- Déterminer la mesure de l’angle \(\angle AOB\) formé par les rayons \(OA\) et \(OB\).
4. Calcul d’aire :
- Calculer l’aire du triangle \(AOB\).
Correction : Triangle Équilatéral et Tangentes dans un Cercle
1. Calcul du périmètre du triangle équilatéral \(ABC\)
Formule utilisée :
Le périmètre d’un triangle équilatéral est donné par
\[ P = 3 \times \text{côté} \]
Substitution et calcul :
Le côté du triangle équilatéral inscrit dans un cercle est égal au diamètre du cercle divisé par la racine carrée de 3, parce que chaque angle au centre mesure \(120^\circ\).
La longueur du côté est donc \(2 \times \text{rayon} \times \sin(60^\circ)\).
\[ \text{Côté} = 2 \times 6 \times \sin(60^\circ) \] \[ \text{Côté} = 12 \times 0.866 \] \[ \text{Côté} = 10.392 \text{ cm} \]
\[ P = 3 \times 10.392 \] \[ P = 31.176 \text{ cm} \]
2. Calcul de la distance \(BD\)
Formule utilisée :
Le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(OBD\), où \(OB\) est le rayon (hypoténuse) et \(OD\) est le rayon projeté sur $BD$ (côté adjacent à l’angle droit).
Substitution et calcul :
\[ OD = OB \cdot \cos(30^\circ) \] \[ OD = 6 \times 0.866 \] \[ OD = 5.196 \text{ cm} \]
La longueur de \(BD\) (côté opposé) est donnée par la tangente:
\[ BD = OB \cdot \tan(30^\circ) \] \[ BD = 6 \times 0.577 \] \[ BD = 3.462 \text{ cm} \]
3. Mesure de l’angle \(\angle AOB\)
Calcul :
Chaque angle au centre d’un triangle équilatéral inscrit est \(120^\circ\).
4. Calcul de l’aire du triangle \(AOB\)
Formule utilisée :
L’aire d’un triangle est
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}\]
Substitution et calcul :
Dans le triangle \(AOB\), la base est \(OA = 6 \text{ cm}\) et la hauteur est \(h = OB \cdot \sin(60^\circ) = 6 \times 0.866\).
\[ h = 5.196 \text{ cm} \]
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 6 \times 5.196 \] \[ \text{Aire} = 15.588 \text{ cm}^2 \]
Récapitulatif des résultats
- Périmètre du triangle \(ABC\): \(\approx 31.18 \text{ cm}\)
- Distance \(BD\): \(\approx 3.462 \text{ cm}\)
- Mesure de l’angle \(\angle AOB\): \(120^\circ\)
- Aire du triangle \(AOB\): \(\approx 15.59 \text{ cm}^2\)
Triangle Équilatéral et Tangentes dans un Cercle
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