Triangle Équilatéral et Tangentes dans un Cercle
Comprendre le Triangle Équilatéral et Tangentes dans un Cercle
On considère un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon 6 cm. Un triangle équilatéral \(ABC\) est inscrit dans le cercle, ce qui signifie que les trois sommets \(A\), \(B\), et \(C\) sont sur le cercle.
Correction : Triangle Équilatéral et Tangentes dans un Cercle
1. Calcul du périmètre du triangle équilatéral \(ABC\)
Pour un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, il existe la relation entre le côté \( s \) du triangle et le rayon \( R \) du cercle :
\[R = \frac{m}{\sqrt{3}}.\]
Ici, \( R = 6 \) cm, donc :
\[m = R \sqrt{3} = 6\sqrt{3} cm.\]
Le périmètre \( P \) du triangle équilatéral est alors :
\[P = 3s = 3 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} cm.\]
2. Calcul de la distance \( BD \)
La construction indique qu’une tangente au cercle \( C \) est tracée au point \( B \). On considère la droite passant par \( A \) et \( C \) (ou son prolongement). On définit le point \( D \) comme étant le point d’intersection entre cette droite et la tangente, de sorte que la droite \( BD \) soit perpendiculaire à \( AC \).
Dans le triangle équilatéral \( ABC \), la hauteur issue de chaque sommet (ici la perpendiculaire depuis \( B \) sur \( AC \)) est donnée par la formule :
\[h = \frac{m\sqrt{3}}{2}.\]
En substituant \(m = 6\sqrt{3} \), on obtient :
\[h = \frac{6\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2}\]
\[h = \frac{6 \times 3}{2}\]
\[h = 9 cm.\]
Ainsi, la distance \( BD \) (qui correspond à cette hauteur) est :
\[BD = 9 cm.\]
3. Détermination de la mesure de l’angle \(\angle AOB\)
Dans un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, les trois arcs déterminés par les sommets sont égaux. Le cercle complet fait \(360^\circ\) et chaque arc vaut donc :
\[\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ.\]
L’angle au centre interceptant l’arc \( AB \) est donc de \(120^\circ\).
Ainsi :
\[\angle AOB = 120^\circ.\]
4. Calcul de l’aire du triangle \( AOB \)
Le triangle \( AOB \) est isocèle puisque \( OA = OB = 6 \) cm et l’angle \(\angle AOB\) vaut \(120^\circ\).
On utilise la formule de l’aire d’un triangle connaissant deux côtés et l’angle compris :
\[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin(\angle AOB).\]
Ici :
- \( OA = OB = 6 \) cm
- \(\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
On a donc :
\[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\text{Aire} = \frac{36\sqrt{3}}{4}\]
\[\text{Aire} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2.\]
Ainsi :
\[\text{Aire}_{\triangle AOB} = 9\sqrt{3}\,\text{cm}^2.\]
Récapitulatif des résultats :
Périmètre du triangle \( ABC \) : \( 18\sqrt{3} \) cm.
Distance \( BD \) : \( 9 \) cm.
Mesure de \(\angle AOB\) : \( 120^\circ \).
Aire du triangle \( AOB \) : \( 9\sqrt{3} \) cm\(^2\).
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