Analyse de Vecteurs
Comprendre l’Analyse de Vecteurs
Soient les vecteurs \(\vec{a} = (2, -3, 5)\), \(\vec{b} = (-1, 4, -2)\) dans l’espace et le scalaire \(k = 3\). Vous devez effectuer les opérations suivantes.
Questions :
1. Addition et Soustraction de Vecteurs
- Calculez \(\vec{a} + \vec{b}\).
- Calculez \(\vec{a} – \vec{b}\).
2. Multiplication par un Scalaire
- Trouvez \(k\vec{a}\) et \(k\vec{b}\).
3. Produit Scalaire et Propriétés
- Calculez le produit scalaire \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
- Déterminez l’angle entre les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), sachant que \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\) et \(0 \leq \theta \leq \pi\).
4. Produit Vectoriel
- Calculez le produit vectoriel \(\vec{a} \times \vec{b}\).
- Déduisez un vecteur normal aux vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\).
5. Application Géométrique
Utilisez le produit vectoriel trouvé dans la question précédente pour calculer l’aire du parallélogramme formé par \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), sachant que l’aire est donnée par \(\|\vec{a} \times \vec{b}\|\).
Correction : Analyse de Vecteurs
1. Addition et Soustraction de Vecteurs
a) Calcul de \( \vec{a} + \vec{b} \) :
Additionner composante par composante :
- Première composante : \( 2 + (-1) = 1 \)
- Deuxième composante : \( -3 + 4 = 1 \)
- Troisième composante : \( 5 + (-2) = 3 \)
Résultat : \[\vec{a} + \vec{b} = (1,\, 1,\, 3)\]
b) Calcul de \( \vec{a} – \vec{b} \) :
Soustraire composante par composante :
- Première composante : \( 2 – (-1) = 2 + 1 = 3 \)
- Deuxième composante : \( -3 – 4 = -7 \)
- Troisième composante : \( 5 – (-2) = 5 + 2 = 7 \)
Résultat : \[\vec{a} – \vec{b} = (3,\, -7,\, 7)\]
2. Multiplication par un Scalaire :
a) Calcul de \( k\vec{a} \) :
Multiplier chaque composante de \( \vec{a} \) par \( k=3 \) :
- Première composante : \( 3 \times 2 = 6 \)
- Deuxième composante : \( 3 \times (-3) = -9 \)
- Troisième composante : \( 3 \times 5 = 15 \)
Résultat : \[k\vec{a} = (6,\, -9,\, 15)\]
b) Calcul de \( k\vec{b} \) :
Multiplier chaque composante de \( \vec{b} \) par \( k=3 \) :
- Première composante : \( 3 \times (-1) = -3 \)
- Deuxième composante : \( 3 \times 4 = 12 \)
- Troisième composante : \( 3 \times (-2) = -6 \)
Résultat : \[k\vec{b} = (-3,\, 12,\, -6)\]
3. Produit Scalaire et propriétés
a) Calcul du produit scalaire \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) :
Multiplier composante par composante et additionner :
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-3)(4) + (5)(-2)\]
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = -2 – 12 – 10 = -24.\]
Résultat : \[\vec{a} \cdot \vec{b} = -24.\]
b) Détermination de l’angle \( \theta \) entre \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \) :
Calculons d’abord la norme de \( \vec{a} \) :
\[\|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 5^2}\]
\[\|\vec{a}\| = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}.\]
Calculons ensuite la norme de \( \vec{b} \) :
\[\|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2}\]
\[\|\vec{b}\|= \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}.\]
La formule pour calculer l’angle \( \theta \) entre les vecteurs \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \) est donnée par :
\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \, \|\vec{b}\|}\]
Ici, on a \[\theta = \frac{-24}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-24}{\sqrt{798}}.\]
En prenant l’arc cosinus pour déterminer l’angle :
\[\theta = \arccos\left(\frac{-24}{\sqrt{798}}\right).\]
Résultat :
Le résultat pour l’angle \( \theta \) entre les vecteurs est :
\[\theta \approx 148.2^\circ \quad \text{(ou environ 2.59 radians)}.\]
4. Produit Vectoriel
a) Calcul de \( \vec{a} \times \vec{b} \) :
Pour calculer le produit vectoriel, on utilise la formule du déterminant :
\[\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & -3 & 5 \\
-1 & 4 & -2
\end{vmatrix}\]
On calcule ensuite les différentes composantes du produit vectoriel :
- Calcul de la composante \( \vec{i} \) :
\[(-3) \times (-2) – (5 \times 4)\]
\[\vec{i} = 6 – 20 = -14.\]
- Calcul de la composante \( \vec{j} \) :
\[-\left[ (2 \times (-2)) – (5 \times (-1)) \right]\]
\[\vec{j} = -\left[-4 + 5\right] = -1.\]
- Calcul de la composante \( \vec{k} \) :
\[(2 \times 4) – ((-3) \times (-1))\]
\[\vec{k} = 8 – 3 = 5.\]
b) Déduction d’un vecteur normal :
Le vecteur obtenu \( (-14,\, -1,\, 5) \) est perpendiculaire à la fois à \( \vec{a} \) et à \( \vec{b} \), ce qui en fait un vecteur normal aux deux.
5. Application Géométrique : Aire du Parallélogramme
L’aire du parallélogramme formé par \( \vec{a} \) et \( \vec{b} \) est donnée par la norme du produit vectoriel \( \|\vec{a} \times \vec{b}\| \).
Calculer la norme de \( \vec{a} \times \vec{b} \) :
\[\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \sqrt{(-14)^2 + (-1)^2 + 5^2}\]
\[\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \sqrt{196 + 1 + 25} = \sqrt{222}.\]
Résultat : \[Aire = \sqrt{222} \]
Soit environ \[14.90.\]
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