Analyse de Vecteurs

Comprendre l’Analyse de Vecteurs

Soient les vecteurs \(\vec{a} = (2, -3, 5)\), \(\vec{b} = (-1, 4, -2)\) et le scalaire \(k = 3\).

1. Addition et Soustraction de Vecteurs

• Calculez \(\vec{a} + \vec{b}\).
• Calculez \(\vec{a} – \vec{b}\).

2. Multiplication par un Scalaire

• Trouvez \(k\vec{a}\) et \(k\vec{b}\).

3. Produit Scalaire et Propriétés

• Calculez le produit scalaire \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
• Déterminez l’angle entre les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), sachant que \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\) et \(0 \leq \theta \leq \pi\).

4. Produit Vectoriel

• Calculez le produit vectoriel \(\vec{a} \times \vec{b}\).
• Déduisez un vecteur normal aux vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\).

5. Application Géométrique

Utilisez le produit vectoriel trouvé dans la question précédente pour calculer l’aire du parallélogramme formé par \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\), sachant que l’aire est donnée par \(\|\vec{a} \times \vec{b}\|\).

Correction : Analyse de Vecteurs

1. Addition et Soustraction de Vecteurs

Addition :

Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs composantes correspondantes.

\[\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), -3 + 4, 5 + (-2)) \] \[\vec{a} + \vec{b} = (1, 1, 3)\]

Soustraction :

Pour soustraire deux vecteurs, on soustrait leurs composantes correspondantes.

\[\vec{a} – \vec{b} = (2 – (-1), -3 – 4, 5 – (-2)) \] \[\vec{a} – \vec{b}= (3, -7, 7)\]

2. Multiplication par un Scalaire

La multiplication d’un vecteur par un scalaire consiste à multiplier chaque composante du vecteur par ce scalaire.

\[k\vec{a} = 3(2, -3, 5) = (6, -9, 15)\]

\[k\vec{b} = 3(-1, 4, -2) = (-3, 12, -6)\]

3. Produit Scalaire et Propriétés

Le produit scalaire de deux vecteurs se calcule en multipliant leurs composantes correspondantes et en additionnant les résultats.

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-3)(4) + (5)(-2) \] \[\vec{a} \cdot \vec{b}= -2 – 12 – 10 = -24\]

Pour trouver l’angle entre les vecteurs, on utilise la formule donnée avec \(\cos(\theta)\).

Tout d’abord, calculons les normes des vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) :

\[\|\vec{a}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 5^2} \] \[\|\vec{a}\|= \sqrt{38}\]

\[\|\vec{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} \] \[\|\vec{b}\|= \sqrt{21}\]

Alors, l’angle \(\theta\) entre \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) est:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|} \] \[\cos(\theta)= \frac{-24}{\sqrt{38}\sqrt{21}}\]

Nous pouvons calculer \(\theta\) en utilisant l’arc cosinus.

4. Produit Vectoriel

Le produit vectoriel de \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) est calculé comme suit:

\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ -1 & 4 & -2 \end{vmatrix}\] \[\vec{a} \times \vec{b}= \hat{i}(15 – (-12)) – \hat{j}(10 – (-5)) + \hat{k}(8 – 3) \] \[\vec{a} \times \vec{b}= \hat{i}(27) – \hat{j}(15) + \hat{k}(5)\]

Donc, \(\vec{a} \times \vec{b} = (27, -15, 5)\).

Ce vecteur est perpendiculaire à la fois à \(\vec{a}\) et à \(\vec{b}\).

5. Application Géométrique

L’aire du parallélogramme formé par \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) est donnée par la norme du produit vectoriel \(\vec{a} \times \vec{b}\) :

\[\text{Aire} = \|\vec{a} \times \vec{b}\| \] \[\text{Aire}= \sqrt{27^2 + (-15)^2 + 5^2} \] \[\text{Aire}= \sqrt{729 + 225 + 25} \] \[\text{Aire}= \sqrt{979}\]

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