Classification et Propriétés des Triangles
Comprendre la Classification et Propriétés des Triangles
Classez les triangles décrits ci-dessous selon leurs côtés et leurs angles, et calculez les angles manquants lorsque cela est nécessaire.
Utilisez les formules appropriées pour les calculs et les propriétés géométriques pour la classification.
Données :
Triangle A
- Longueurs des côtés : 5 cm, 5 cm, 8 cm
- Angle entre les deux côtés de 5 cm : 50°
Triangle B
- Longueurs des côtés : 7 cm, 7 cm, 7 cm
Triangle C
- Longueurs des côtés : 6 cm, 8 cm, 10 cm
Triangle D
- Longueurs des côtés : 4 cm, 6 cm, 9 cm
- Angle opposé au côté de 6 cm : 80°
Questions :
- Classification par les côtés :
- Déterminez si chaque triangle est équilatéral, isocèle ou scalène.
- Classification par les angles :
- Déterminez si chaque triangle est acutangle, rectangle ou obtusangle.
- Calcul des angles manquants :
- Pour le Triangle A, déterminez les deux autres angles en utilisant la propriété que les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux.
- Pour le Triangle D, calculez les deux autres angles, en utilisant la somme des angles d’un triangle (180°) et considérant les propriétés des triangles scalènes.
Informations supplémentaires pour les calculs :
- Pour les Triangles équilatéraux (comme le Triangle B), rappeler que tous les angles sont de 60° chacun.
- Pour le Triangle C, utiliser le théorème de Pythagore pour justifier qu’il s’agit d’un triangle rectangle, car \( 6^2 + 8^2 = 10^2 \)
- Pour le Triangle A, calculer les deux autres angles en sachant que la somme des angles d’un triangle isocèle implique que les deux angles à la base sont égaux et la somme des trois angles est 180°.
- Pour le Triangle D, utiliser la somme des angles (180°) pour estimer les angles inconnus, en partant de l’angle connu de 80°. Les autres angles peuvent être déterminés en faisant l’hypothèse que le plus grand côté est opposé au plus grand angle.
Correction : Classification et Propriétés des Triangles
Triangle A
1. Classification par les côtés :
Les côtés sont \((5,\, 5,\, 8)\) cm.
Comme le triangle a deux côtés égaux \(\Rightarrow\) triangle isocèle.
2. Calcul des angles :
L’angle donné (50°) est celui compris entre les deux côtés de 5 cm, c’est donc l’angle au sommet. Soit \(\alpha\) chacun des deux angles à la base.
La somme des angles dans un triangle vaut 180°, donc :
\[50° + 2\alpha = 180° \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 130° \quad \Longrightarrow \quad \alpha = 65°.\]
Les angles du triangle A sont donc : 50°, 65° et 65°.
3. Classification par les angles :
Tous les angles étant inférieurs à 90°, le triangle A est acutangle.
Triangle B
1. Classification par les côtés :
Tous les côtés sont égaux (7 cm), c’est donc
\(\Rightarrow\) triangle équilatéral.
2. Classification par les angles :
Dans un triangle équilatéral, chaque angle vaut 60°.
Ainsi, le triangle B est acutangle.
Triangle C
1. Classification par les côtés :
Les côtés sont \((6,\, 8,\, 10)\) cm.
Comme les côtés sont tous de longueurs différentes \(\Rightarrow\) triangle scalène.
2. Classification par les angles :
Vérification par le théorème de Pythagore :
\[6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \quad \text{et} \quad 10^2 = 100.\]
La relation est vérifiée, ce qui montre que le triangle est rectangle (l’angle opposé au côté de 10 cm vaut 90°).
Triangle D
1. Classification par les côtés :
Les côtés mesurent 4 cm, 6 cm et 9 cm.
Ils sont tous différents \(\Rightarrow\) triangle scalène.
2. Calcul de l’angle opposé au côté de 6 cm :
Soit le triangle avec \(a = 4\) cm, \(b = 6\) cm et \(c = 9\) cm.
Nous voulons déterminer l’angle \(B\) opposé au côté \(b = 6\) cm à l’aide de la loi des cosinus :
\[\cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac}.\]
Calculons :
\[a^2 = 16,\quad c^2 = 81,\quad b^2 = 36.\]
Ainsi :
\[\cos B = \frac{16 + 81 – 36}{2 \times 4 \times 9} = \frac{61}{72}.\]
Donc :
\[B = \arccos\left(\frac{61}{72}\right) \approx 32.1°.\]
3. Calcul des autres angles :
Pour déterminer l’angle \(C\) opposé au côté \(c = 9\) cm, appliquons la loi des cosinus :
\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} = \frac{16 + 36 – 81}{2 \times 4 \times 6} = \frac{-29}{48}.\]
Donc :
\[C = \arccos\left(\frac{-29}{48}\right) \approx 128.1°.\]
L’angle \(A\) opposé au côté \(a = 4\) cm se calcule alors par :
\[A = 180° – (B + C) \approx 180° – (32.1° + 128.1°) \approx 19.8°.\]
4. Classification par les angles :
Le triangle D présente un angle de 128.1° (supérieur à 90°) et deux angles plus petits.
Ainsi, le triangle D est obtusangle.
Résumé des résultats
Triangle A :
- Côtés : isocèle
- Angles : 50°, 65°, 65° \(\rightarrow\) triangle acutangle.
Triangle B :
- Côtés : équilatéral
- Angles : 60°, 60°, 60° \(\rightarrow\) triangle acutangle.
Triangle C :
- Côtés : scalène
- Angles : le triangle est rectangle (angle droit opposé au côté de 10 cm)
Triangle D
- Côtés : scalène
- Angles : environ 19.8°, 32.1°, 128.1° \(\rightarrow\) triangle obtusangle
Classification et Propriétés des Triangles
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