Distances dans le Triangle Astronomique
Comprendre le calcul des Distances dans le Triangle Astronomique
Un astronome observe trois planètes alignées avec une étoile. Ces corps célestes forment un triangle depuis son point d’observation sur Terre, où l’étoile est considérée comme le point A, et les planètes comme les points B et C du triangle \(ABC\).
L’astronome souhaite déterminer la distance entre les planètes B et C, sachant que ces distances sont extrêmement grandes et ne peuvent être mesurées directement. Il utilise la parallaxe et d’autres méthodes astronomiques pour estimer les angles et les côtés du triangle formé dans son champ de vision.
Données:
- L’angle au point A (\(\angle BAC\)) est mesuré à \(76^\circ\).
- L’angle au point B (\(\angle ABC\)) est de \(46^\circ\).
- La distance de l’astronome à la planète B (côté \(AC\)) est estimée à 300 millions de kilomètres.
Questions:
1. Calcul de l’angle au point C
Déterminez l’angle \(\angle BCA\) du triangle \(ABC\) en utilisant la somme des angles dans un triangle.
2. Application de la Loi des Sinus
Utilisez la loi des sinus pour calculer la longueur du côté \(BC\) (distance entre les deux planètes).
3. Détermination de la distance \(AB\)
En utilisant la loi des sinus ou des cosinus, calculez également la distance de l’astronome à l’étoile A.
4. Réflexion supplémentaire
Discutez de la manière dont des erreurs dans la mesure des angles pourraient affecter la précision des distances calculées. Comment l’astronome pourrait-il minimiser ces erreurs?
Correction : Distances dans le Triangle Astronomique
1. Calcul de l’angle au point C (\(\angle BCA\))
La somme des angles dans un triangle est toujours égale à \(180^\circ\).
On a donc :
\[\angle C = 180^\circ – (\angle A + \angle B)\]
\[\angle C = 180^\circ – (76^\circ + 46^\circ).\]
Calcul de la somme :
\[76^\circ + 46^\circ = 122^\circ.\]
On trouve :
\[\angle C = 180^\circ – 122^\circ = 58^\circ.\]
Résultat :
\[\angle C = 58^\circ.\]
2. Application de la Loi des Sinus
On utilise la loi des sinus pour déterminer la distance entre les planètes. Dans un triangle, cette loi nous indique :
\[\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}.\]
Nous souhaitons trouver \(BC.\). Pour cela, isolons d’abord \(BC\):
\[BC = AC \times \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle B)}.\]
En substituant les valeurs connues :
- \(AC = 300 \quad \text{millions de km}\)
- \(\sin(76^\circ) \approx 0.970\)
- \(sin(46^\circ) \approx 0.7193\)
On a donc :
\[BC \approx 300 \times \frac{0.970}{0.7193}.\]
Calculons d’abord la fraction :
\[0.970 \div 0.7193 \approx 1.349.\]
Ainsi :
\[BC \approx 300 \times 1.349 \approx 404.7 \quad \text{millions de km}.\]
Résultat : La distance \(BC \approx 405`\) millions de km (arrondi).
3. Détermination de la distance AB
On applique encore la loi des sinus, cette fois pour le côté \(AB.\), c’est-à-dire la distance de l’astronome à l’étoile A.
D’après la loi des sinus :
\[\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}.\]
Isolons \(AB:\)
\[AB = AC \times \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle B)}.\]
En substituant les valeurs :
- \(AC = 300 \quad \text{millions de km}\)
- \(\sin(58^\circ) \approx 0.8480\)
- \(\sin(46^\circ) \approx 0.7193\)
On obtient :
\[AB \approx 300 \times \frac{0.8480}{0.7193}.\]
On calcule d’abord la fraction :
\[0.8480 \div 0.7193 \approx 1.1789.\]
Donc :
\[AB \approx 300 \times 1.1789 \approx 353.67 \quad \text{millions de km}.\]
Résultat : La distance \(AB \approx 354 \) millions de km (arrondi)
4. Réflexion sur l’impact des erreurs de mesure
Les calculs reposent sur la loi des sinus, qui utilise les rapports entre les longueurs des côtés et les sinus des angles. De ce fait, une petite erreur dans la mesure d’un angle peut modifier de manière significative la valeur du sinus utilisé, et donc fausser le calcul des distances.
Par exemple :
- Une erreur de quelques degrés dans la mesure de \(\angle A\) ou\(\angle B\) modifierait les valeurs de \(\sin(76^\circ)\) ou\(\sin(46^\circ),\) entraînant un facteur multiplicatif différent dans le calcul de\(BC\) ou \(AB.\)
- La sensibilité de la loi des sinus fait que plus les angles mesurés sont petits (ou proches de \(90^\circ\)), plus l’erreur relative sur le sinus peut être importante.
Pour minimiser ces erreurs, l’astronome peut :
- Effectuer de multiples mesures et utiliser une moyenne afin de réduire l’incertitude statistique.
- Utiliser des instruments de mesure à haute précision (comme des interféromètres ou d’autres systèmes de télémétrie avancés).
- Recouper les résultats obtenus par différentes méthodes (par exemple, en appliquant également la loi des cosinus dans certains cas) pour vérifier la cohérence des distances calculées.
- Procéder à une calibration rigoureuse des instruments et tenir compte des facteurs pouvant fausser la mesure (atmosphère, aberrations optiques, etc.).
Synthèse des résultats :
- L’angle\(\angle C = 58^\circ.\)
- Distance entre les deux planètes (côté
\(BC\) : environ 405 millions de km. - Distance de l’astronome à l’étoile (côté \(AB\) : environ 354 millions de km.
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