Distances dans le Triangle Astronomique

Calcul des Distances dans le Triangle Astronomique

Un astronome observe trois planètes alignées avec une étoile. Ces corps célestes forment un triangle depuis son point d’observation sur Terre, où l’étoile est considérée comme le point A, et les planètes comme les points B et C du triangle \(ABC\).

L’astronome souhaite déterminer la distance entre les planètes B et C, sachant que ces distances sont extrêmement grandes et ne peuvent être mesurées directement.

Il utilise la parallaxe et d’autres méthodes astronomiques pour estimer les angles et les côtés du triangle formé dans son champ de vision.

Données:

• L’angle au point A (\(\angle BAC\)) est mesuré à \(76^\circ\).
• L’angle au point B (\(\angle ABC\)) est de \(46^\circ\).
• La distance de l’astronome à la planète B (côté \(AC\)) est estimée à 300 millions de kilomètres.

Questions:

1. Calcul de l’angle au point C

Déterminez l’angle \(\angle BCA\) du triangle \(ABC\) en utilisant la somme des angles dans un triangle.

2. Application de la Loi des Sinus

Utilisez la loi des sinus pour calculer la longueur du côté \(BC\) (distance entre les deux planètes).

3. Détermination de la distance \(AB\)

En utilisant la loi des sinus ou des cosinus, calculez également la distance de l’astronome à l’étoile A.

4. Réflexion supplémentaire

Discutez de la manière dont des erreurs dans la mesure des angles pourraient affecter la précision des distances calculées. Comment l’astronome pourrait-il minimiser ces erreurs?

Correction : Distances dans le Triangle Astronomique

1. Calcul de l’angle au point C (\(\angle BCA\))

La somme des angles dans un triangle est toujours égale à \(180^\circ\). Donc, pour calculer l’angle au point C, on utilise la formule :

\[ \angle C = 180^\circ – \angle A – \angle B \]

En substituant les valeurs données :

\[ \angle C = 180^\circ – 76^\circ – 46^\circ \] \[ \angle C = 58^\circ \]

2. Application de la Loi des Sinus pour calculer la longueur du côté BC (distance entre les deux planètes)

La loi des sinus nous dit que le rapport entre la longueur d’un côté d’un triangle et le sinus de l’angle opposé est constant pour tous les côtés et angles du triangle.

Mathématiquement, cela s’écrit :

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

Pour trouver la distance BC (\(c\)), on réarrange la formule pour isoler \(c\) :

\[ c = a \times \frac{\sin(C)}{\sin(A)} \]

En substituant les valeurs données et calculées :

\[ c = 300 \times \frac{\sin(58^\circ)}{\sin(76^\circ)} \] \[ c \approx 262.2 \text{ millions de kilomètres} \]

3. Détermination de la distance AB (distance de l’astronome à l’étoile A)

En utilisant à nouveau la loi des sinus pour calculer la longueur du côté AB (\(b\)), on a :

\[ b = a \times \frac{\sin(B)}{\sin(A)} \]

En substituant les valeurs données :

\[ b = 300 \times \frac{\sin(46^\circ)}{\sin(76^\circ)} \] \[ b \approx 222.4 \text{ millions de kilomètres} \]

Résumé des résultats

• L’angle \(\angle BCA\) est de \(58^\circ\).
• La distance entre les deux planètes (BC) est d’environ \(262.2\) millions de kilomètres.
• La distance de l’astronome à l’étoile A (AB) est d’environ \(222.4\) millions de kilomètres.

4. Réflexion sur les mesures

Les erreurs dans la mesure des angles pourraient significativement affecter la précision des distances calculées, étant donné que les fonctions sinus et cosinus réagissent de manière sensible aux variations, surtout pour les angles plus grands.

L’astronome pourrait minimiser ces erreurs en utilisant des instruments plus précis pour les mesures angulaires et en répétant les observations plusieurs fois pour faire une moyenne des résultats.

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