Parallèles et Perpendiculaires dans un Rectangle
Comprendre les Parallèles et Perpendiculaires dans un Rectangle
Soit ABCD un rectangle où AB = 8 cm et AD = 6 cm.
On place le rectangle dans un repère orthonormé de la manière suivante :
- \(A : 0,0\),
- \(B : 8,0\),
- \(C : 8,6\),
- \(D : 0,6 \).
- \(E : 2,0\) (sur \(AB\) avec \(AE = 2\,\text{cm}\)).
Le point \((E)\) est situé sur le côté \((AB)\) de telle manière que \((AE = 2\,\text{cm})\) (donc \((E(2,0))\)).
La droite passant par \((E)\) et parallèle à \((AD)\) (donc verticale) coupe le côté \((CD)\) en \((F)\).
La droite passant par \((D)\) et perpendiculaire à \((EF)\) coupe le côté \((BC)\) en \((G)\).
Questions :
1. Démontrez que les droites (EF) et (AD) sont parallèles.
2. Calculez la longueur EF.
3. Démontrez que les droites (DG) et (EF) sont perpendiculaires.
4. Calculez la longueur de DG.
Correction : Parallèles et Perpendiculaires dans un Rectangle
Configuration du rectangle :
On admet la configuration suivante :
- \((A(0,0))\),
- \((B(8,0))\),
- \((C(8,6))\),
- \((D(0,6))\).
- \((E(2,0))\) (sur \((AB)\) avec \((AE = 2\,\text{cm})\)).
Construction de \((F)\) :
La droite passant par \((E)\) et parallèle à \((AD)\) est verticale.
Son équation est \((x = 2)\).
Elle coupe le côté \((CD)\) (horizontal, \((y = 6)\)) en \((F(2,6))\).
1. Parallélisme de \((EF)\) et \((AD)\) :
- La droite \((AD)\) passe par \((A(0,0))\) et \((D(0,6))\).
Son vecteur directeur est
\((\vec{AD} = (0-0,\; 6-0) = (0,6))\), ce qui signifie qu’elle est verticale (\’equation \((x=0)\)).
- La droite \((EF)\) passe par \((E(2,0))\) et \((F(2,6))\).
Son vecteur directeur est
\((\vec{EF} = (2-2,\; 6-0) = (0,6))\), donc elle est également verticale (équation \((x=2)\)).
Puisque deux droites verticales ont le même vecteur directeur, elles sont parallèles.
\[(EF) \parallel (AD).\]
2. Calcul de la longueur \((EF)\) :
La distance entre \((E(2,0))\) et \((F(2,6))\) est donnée par :
\[EF = \sqrt{(2-2)^2 + (6-0)^2}\]
\[EF = \sqrt{0 + 36} = 6\,\text{cm}.\]
\[EF = 6\,\text{cm}.\]
3. Perpendicularité de \((DG)\) et \((EF)\) :
La droite \((EF)\) étant verticale, toute droite horizontale sera perpendiculaire à \((EF)\).
La droite passant par \((D(0,6))\) et perpendiculaire à \((EF)\) est donc horizontale, c’est-a-dire d’équation \((y = 6)\).
Le côté \((BC)\) est vertical (équation \((x = 8)\)) et la droite horizontale \((y = 6)\) coupe \((BC)\) en \((G(8,6))\).
Ainsi, la droite \((DG)\) (qui passe par \((D(0,6))\) et \((G(8,6))\)) est horizontale et, par construction, perpendiculaire à \((EF)\).
Résultat : \[(DG) \perp (EF).\]
4. Calcul de la longueur de \((DG)\) :
La distance entre \((D(0,6))\) et \((G(8,6))\) est :
\[DG = \sqrt{(8-0)^2 + (6-6)^2}\]
\[DG = \sqrt{64 + 0} = 8\,\text{cm}.\]
\[DG = 8\,\text{cm}.\]
Résumé des Résultats:
- Les droites \((EF)\) et \((AD)\) sont parallèles.
- La longueur de \((EF)\) est de \(6\,\text{cm}\).
- Les droites \((DG)\) et \((EF)\) sont perpendiculaires.
- La longueur de \((DG)\) est de \(8\,\text{cm}\).
Parallèles et Perpendiculaires dans un Rectangle
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