Parallèles et Perpendiculaires dans un Rectangle

Comprendre les Parallèles et Perpendiculaires dans un Rectangle

Soit ABCD un rectangle où AB = 8 cm et AD = 6 cm. Le point E est situé sur le côté AB de telle manière que AE = 2 cm. La droite passant par E et parallèle à AD coupe le côté CD en F.

La droite passant par D et perpendiculaire à EF coupe AB en G.

1. Démontrez que les droites (EF) et (AD) sont parallèles.

2. Calculez la longueur EF.

3. Démontrez que les droites (DG) et (EF) sont perpendiculaires.

4. Calculez la longueur de DG.

Correction : Parallèles et Perpendiculaires dans un Rectangle

1. Démonstration que \((EF)\) et \((AD)\) sont parallèles :

Puisque \(ABCD\) est un rectangle, ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Par définition, une droite parallèle à un côté d’un rectangle est également parallèle à l’opposé de ce côté.

Ainsi, puisque \((EF)\) est dessinée parallèle à \(AD\), par construction, \((EF) \parallel (AD)\) par propriété des parallèles dans un rectangle.

2. Calcul de \(EF\) :

Dans le rectangle \(ABCD\), \(AD = 6\) cm. Les triangles \(AEF\) et \(EFC\) sont semblables (critère de similarité AA : deux angles correspondants sont égaux car les droites sont parallèles).

Le rapport de similarité entre les triangles est basé sur les longueurs \(AE\) et \(AB\), car \(\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{DC}\).

Sachant que \(AE = 2\) cm et \(AB = 8\) cm (donc, \(DC = 8\) cm aussi, car \(ABCD\) est un rectangle), on a :

\[\frac{2}{8} = \frac{EF}{6}\] \[
\frac{1}{4} = \frac{EF}{6} \]

On résout pour \(EF\) :

\[EF = 6 \times \frac{1}{4} = 1.5 \, \text{cm}\]

3. Démonstration que \((DG)\) et \((EF)\) sont perpendiculaires :

Les droites \((EF)\) et \((AD)\) sont parallèles par construction. La droite \((DG)\) est tracée perpendiculairement à \((EF)\).

Par définition, si une droite est perpendiculaire à une seconde droite, et cette seconde droite est parallèle à une troisième, alors la première droite est également perpendiculaire à la troisième par transversalité.

Ainsi, \((DG)\) est perpendiculaire à \((EF)\).

4. Calcul de \(DG\) :

Nous savons que \(DE\) est la somme des longueurs \(AE\) et \(EF\). Ainsi, \(DE = AE + EF = 2\) cm \(+ 1.5\) cm \(= 3.5\) cm.

Pour trouver \(DG\), nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle \(DGE\), où \(DG\) est l’hypoténuse.

\[DG^2 = DE^2 + EG^2\]

Mais \(EG = AB – AE\) (puisque \(G\) est sur \(AB\) et à l’extérieur de \(AE\)), donc \(EG = 8\) cm \(- 2\) cm \(= 6\) cm.

\[DG^2 = 3.5^2 + 6^2\] \[DG^2 = 12.25 + 36\] \[DG^2 = 48.25\]

En prenant la racine carrée des deux côtés :

\[DG = \sqrt{48.25}\] \[DG \approx 6.94 \, \text{cm}\]

Résumé des Résultats:

• \((EF) \parallel (AD)\) par propriété des parallèles dans un rectangle.
• \(EF = 1.5\) cm en utilisant le rapport de similarité.
• \((DG) \perp (EF)\) par construction et transversalité.
• \(DG \approx 6.94\) cm calculé avec le théorème de Pythagore.