Théorèmes de Thalès et de Pythagore

Comprendre le Théorèmes de Thalès et de Pythagore

Dans un parc, Lisa et Max observent deux arbres alignés avec une statue. Ils se placent sur la ligne imaginée entre les arbres et la statue pour mesurer certaines distances afin de déterminer la hauteur des arbres sans avoir à grimper.

Lisa se positionne à la base du premier arbre, et Max marche jusqu’à la statue en mesurant la distance parcourue.

Ils utilisent un mètre ruban pour les mesures au sol et un miroir pour s’assurer de l’alignement visuel avec les sommets des arbres.

Données:

• La distance du premier arbre à la statue est de 40 mètres.
• La distance du second arbre à la statue est de 25 mètres.
• Max mesure 1,8 mètre de hauteur.
• La distance entre Lisa (au pied du premier arbre) et Max est de 15 mètres lorsque Max s’aligne visuellement avec le sommet du premier arbre et la statue.
• Lorsque Max s’aligne visuellement avec le sommet du second arbre et la statue, il se trouve à 10 mètres de Lisa.

Questions:

1. Utiliser le Théorème de Thalès pour déterminer la hauteur du premier arbre.

• Appliquer le Théorème de Thalès dans le triangle formé par les positions de Lisa, Max, et la statue, en utilisant la position de Max lorsqu’il est aligné avec le sommet du premier arbre.

2. Utiliser le Théorème de Thalès pour estimer la hauteur du second arbre.

• Répéter le processus avec les données relatives au second arbre.

3. Calculer la distance entre les deux arbres.

• Utiliser le Théorème de Pythagore en considérant le triangle formé par les deux arbres et la statue. Pour cela, considérez que les arbres et la statue forment un triangle rectangle où la statue et les points au pied des arbres sont les sommets du triangle.

Correction : Théorèmes de Thalès et de Pythagore

1. Hauteur du Premier Arbre

Données:

• Distance Max-Statue (lorsqu’il est aligné avec le premier arbre) = 15 m
• Distance Premier Arbre-Statue = 40 m
• Hauteur de Max = 1,8 m

Application du Théorème de Thalès:

Selon le Théorème de Thalès, les rapports des distances mesurées par Lisa et Max sont proportionnels à la hauteur de Max et à la hauteur du premier arbre. Ainsi, nous avons:

\[ \frac{\text{Hauteur de Max}}{\text{Distance Max-Statue}} = \frac{\text{Hauteur du Premier Arbre}}{\text{Distance Premier Arbre-Statue}} \]

En substituant les valeurs données:

\[ \frac{1,8}{15} = \frac{\text{Hauteur du Premier Arbre}}{40} \]

On résout cette équation pour trouver la hauteur du premier arbre:

\[ \text{Hauteur du Premier Arbre} = \frac{1,8 \times 40}{15} \]

Calculons la valeur:

\[ \text{Hauteur du Premier Arbre} = \frac{72}{15} = 4,8 \, \text{m} \]

La hauteur du premier arbre est de 4,8 mètres.

2. Hauteur du Second Arbre

Données :

• Distance Max-Statue (lorsqu’il est aligné avec le second arbre) = 10 m
• Distance Second Arbre-Statue = 25 m
• Hauteur de Max = 1,8 m

Application du Théorème de Thalès :

Nous avons :

\[\frac{1,8}{10} = \frac{\text{Hauteur du Second Arbre}}{25}\]

Résolvons l’équation pour la hauteur du second arbre :

\[\text{Hauteur du Second Arbre} = \frac{1,8 \times 25}{10}\]

Calculons :

\[\text{Hauteur du Second Arbre} = \frac{45}{10} = 4,5 \, \text{m}\]

La hauteur du second arbre est de 4,5 mètres.

3. Distance Entre les Deux Arbres

Données :

• Distance du Premier Arbre à la Statue = 40 m
• Distance du Second Arbre à la Statue = 25 m

Application du Théorème de Pythagore :

Les distances entre les deux arbres et la statue forment un triangle rectangle. Nous avons donc l’équation suivante selon le Théorème de Pythagore :

\[a^2 + b^2 = c^2\]

où :

• \(a\) est la distance inconnue entre les deux arbres,
• \(b = 0\) (car les arbres sont alignés avec la statue),
• \(c = 40 – 25 = 15\) m (différence des distances à la statue).

Puisque \(b = 0\), l’équation se réduit à \(a = c\).

La distance entre les deux arbres est donc de 15 mètres.