Utilisation des identités remarquables

Comprendre l’Utilisation des identités remarquables

On considère les expressions suivantes :

\[ A = (3x – 2)^2 \]
\[ B = (4 – y)(4 + y) \]
\[ C = 2(5x + 1)^2 – \frac{1}{2}(10x – 2)^2 \]

1. Développez et simplifiez l’expression \(A\) en utilisant l’identité remarquable adaptée.

2. Développez et simplifiez l’expression \(B\) en utilisant l’identité remarquable adaptée.

3. Développez et simplifiez l’expression \(C\) en utilisant les identités remarquables et les propriétés des opérations sur les expressions algébriques. Remarquez comment les termes se simplifient.

Rappel des identités remarquables:

• Carré d’une somme : \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• Carré d’une différence : \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
• Produit de la somme par la différence : \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\)

Correction : Utilisation des identités remarquables

1. Expression \(A = (3x – 2)^2\)

Étape de développement :

Utilisons l’identité remarquable du carré d’une différence :

\[ (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2. \]

Ainsi,

\[ A = (3x – 2)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 2 + (2)^2. \]

Calcul :

\[ A = 9x^2 – 12x + 4 \]

Donc, l’expression \(A\) développée et simplifiée est \(9x^2 – 12x + 4\).

2. Expression \(B = (4 – y)(4 + y)\)

Étape de développement :

Utilisons l’identité remarquable du produit de la somme par la différence :

\[ (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \]

Ainsi,

\[ B = (4 – y)(4 + y) = 4^2 – y^2 \]

Calcul :

\[ B = 16 – y^2 \]

L’expression \(B\) développée et simplifiée est \(16 – y^2\)

3. Expression \(C = 2(5x + 1)^2 – \frac{1}{2}(10x – 2)^2\)

Étape de développement et calcul :

Pour le premier terme \(2(5x + 1)^2\), utilisons l’identité du carré d’une somme :

\[ = 2[(5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 \] \[ = 2[25x^2 + 10x + 1] \] \[ = 50x^2 + 20x + 2 \]

Pour le second terme \(-\frac{1}{2}(10x – 2)^2\), utilisons à nouveau l’identité du carré d’une différence, en notant que \((10x – 2) = 2(5x – 1)\) :

\[ = -\frac{1}{2}[(10x)^2 – 2 \cdot 10x \cdot 2 + (2)^2] \] \[ = -\frac{1}{2}[100x^2 – 40x + 4] \] \[ = -50x^2 + 20x – 2.
\]

Simplification de \(C\) :

\[ C = (50x^2 + 20x + 2) + (-50x^2 + 20x – 2) \] \[ C = 50x^2 + 20x + 2 – 50x^2 + 20x – 2 \] \[ C = 40x \]

Ainsi, après développement et simplification, l’expression \(C\) est \(40x\).

Utilisation des identités remarquables