Vecteurs et Produit Scalaire dans le Plan

Comprendre les Vecteurs et Produit Scalaire dans le Plan

Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points \(A(2,3)\), \(B(-1,2)\), et \(C(4,-1)\).

Objectifs :

1. Vecteurs et coordonnées :

• Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

2. Produit scalaire :

Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) de deux manières :

• Par les coordonnées.
• En utilisant la définition géométrique du produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\theta)\), où \(\theta\) est l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

3. Angle entre deux vecteurs :

• Déduire l’angle \(\theta\) entre \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).

4. Application géométrique :

• Utiliser le résultat du produit scalaire pour déterminer si le triangle \(ABC\) est acutangle, obtusangle ou rectangle.

Correction : Vecteurs et Produit Scalaire dans le Plan

1. Vecteurs et coordonnées :

Coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) :

\(\vec{AB} = B – A = (-1 – 2, 2 – 3) = (-3, -1)\)

Coordonnées du vecteur \(\vec{AC}\) :

\(\vec{AC} = C – A = (4 – 2, -1 – 3) = (2, -4)\)

2. Produit scalaire :

Par les coordonnées :

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \times 2 + (-1) \times (-4) \] \[ = -6 + 4 = -2 \]

Normes des vecteurs :

• \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\)
• \(\|\vec{AC}\| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}\)

Le calcul du produit scalaire par la définition géométrique nécessite de connaître l’angle entre les vecteurs, que nous avons déduit indirectement à travers le cosinus de l’angle.

3. Angle entre deux vecteurs :

Le cosinus de l’angle \(\theta\) entre \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) est donné par

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|} \] \[= \frac{-2}{\sqrt{10} \times 2\sqrt{5}} \] \[= \frac{-\sqrt{2}}{10}\]

4. Application géométrique :

Le signe négatif du produit scalaire indique que l’angle \(\theta\) entre les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) est obtus (supérieur à \(90^\circ\)), ce qui implique que le triangle \(ABC\) est obtusangle au sommet \(A\).

Vecteurs et Produit Scalaire dans le Plan