Analyse et Manipulations de Matrices
Comprendre l’Analyse et Manipulations de Matrices
Données:
Soit les matrices \(A\) et \(B\) définies par :
\[ A = \begin{bmatrix}
2 & 4 \\
-1 & 3
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
2 & -3
\end{bmatrix} \]
Partie A : Opérations de base
1. Calculez \(A + B\).
2. Calculez \(AB\) et \(BA\). Commentez les résultats obtenus.
Partie B : Propriétés des matrices
3. Trouvez le déterminant de \(A\) et de \(B\).
4. Déterminez si \(A\) et \(B\) sont inversibles. Si oui, calculez \(A^{-1}\) et \(B^{-1}\).
Partie C : Applications des matrices inverses
5. Utilisez les inverses de \(A\) et \(B\) (si elles existent) pour résoudre le système d’équations linéaires suivant, où \(X\) est la matrice inconnue :
\[ AX + B = X \]
Partie D : Valeurs propres et vecteurs propres
6. Calculez les valeurs propres de \(A\).
7. Trouvez un vecteur propre associé à chaque valeur propre de \(A\).
Correction : Analyse et Manipulations de Matrices
Partie A : Opérations de base
1. Calcul de \(A + B\)
Pour additionner deux matrices, additionnez leurs éléments correspondants.
\[ A + B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+0 & 4+1 \\ -1+2 & 3-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]
2. Calcul de \(AB\) et \(BA\)
La multiplication de deux matrices se fait en calculant le produit scalaire des lignes de la première matrice avec les colonnes de la seconde.
- Calcul de \(AB\):
\[ AB = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \] \[ AB = \begin{bmatrix} (2 \cdot 0 + 4 \cdot 2) & (2 \cdot 1 + 4 \cdot (-3)) \\ (-1 \cdot 0 + 3 \cdot 2) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot (-3)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -10 \\ 6 & -10 \end{bmatrix} \]
- Calcul de \(BA\):
\[ BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \] \[ BA = \begin{bmatrix} (0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1)) & (0 \cdot 4 + 1 \cdot 3) \\ (2 \cdot 2 + -3 \cdot (-1)) & (2 \cdot 4 + -3 \cdot 3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 7 & -1 \end{bmatrix} \]
Partie B : Propriétés des matrices
3. Déterminants de \(A\) et \(B\)
Le déterminant d’une matrice 2×2 est calculé par \(ad – bc\).
- Déterminant de \(A\):
\[ \text{det}(A) = (2 \cdot 3) – (-1 \cdot 4) = 6 + 4 = 10 \]
- Déterminant de \(B\):
\[ \text{det}(B) = (0 \cdot (-3)) – (1 \cdot 2) = 0 – 2 = -2 \]
4. Inverses de \(A\) et \(B\)
L’inverse d’une matrice 2×2, \([a \, b; c \, d]\), est \(\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\) si le déterminant est non nul.
- Inverse de \(A\):
\[ A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.3 & -0.4 \\ 0.1 & 0.2 \end{bmatrix} \]
- Inverse de \(B\):
\[ B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 0.5 \\ 1.0 & 0.0 \end{bmatrix} \]
Partie C : Applications des matrices inverses
5. Résolution du système \(AX + B = X\):
\[ X = \begin{bmatrix} -0.5 & 1.0 \\ 0.375 & -0.5 \end{bmatrix} \]
Solution trouvée en utilisant les inverses pour isoler \(X\) dans l’équation donnée.
Partie D : Valeurs propres et vecteurs propres
6. Valeurs propres de \(A\):
\[ \lambda_{1,2} = 2.5 \pm 1.936i \]
Les valeurs propres sont complexes, indiquant une rotation et une dilatation dans le plan complexe.
7. Vecteurs propres de \(A\) associés aux valeurs propres:
\[ \text{Vecteur propre associé à } \lambda_1 = \begin{bmatrix} 0.894 \\ 0.112 + 0.433i \end{bmatrix}, \quad \text{Vecteur propre associé à } \lambda_2 = \begin{bmatrix} 0.894 \\ 0.112 – 0.433i \end{bmatrix} \]
Les vecteurs propres sont également complexes, cohérents avec les valeurs propres complexes.
Analyse et Manipulations de Matrices
D’autres exercices algebre université:
0 commentaires