Calcul de longueur dans un parc triangulaire
Comprendre le Calcul de longueur dans un parc triangulaire
Un parc public est conçu en forme de triangle rectangle. Le côté le plus long du triangle, appelé l’hypoténuse, est un chemin qui sépare le parc en deux zones distinctes : une aire de jeux et un espace vert.
Énoncé
Le triangle ABC est rectangle en B. Les longueurs des côtés AB et BC, qui représentent respectivement la limite de l’aire de jeux et l’espace vert, sont de 30 mètres et 40 mètres.
Le chemin AC, qui est l’hypoténuse, sépare les deux espaces.
Questions
1. Calcul de l’hypoténuse AC : Utilise le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du chemin AC qui sépare l’aire de jeux de l’espace vert.
2. Discussion sur l’utilisation de l’espace : Si le parc souhaite augmenter la taille de l’aire de jeux sans modifier la taille de l’espace vert, quelle recommandation pourrais-tu faire concernant la forme du triangle ? Explique pourquoi.
3. Problème supplémentaire : Si un nouveau chemin est prévu pour relier directement l’angle B au milieu de AC, quelle sera la longueur de ce nouveau chemin ? (Indice : Divise AC en deux et applique le théorème de Pythagore dans le nouveau triangle formé).
Correction : Calcul de longueur dans un parc triangulaire
1. Calcul de l’hypoténuse AC
Pour trouver la longueur de l’hypoténuse \(AC\) du triangle rectangle \(ABC\), où \(AB = 30\) m et \(BC = 40\) m, on utilise le théorème de Pythagore:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ AC^2 = 30^2 + 40^2 \] \[ AC^2 = 900 + 1600 \] \[ AC^2 = 2500 \] \[ AC = \sqrt{2500} = 50 \, \text{m} \]
La longueur de l’hypoténuse \(AC\), qui est le chemin séparant les deux espaces du parc, est donc de 50 mètres.
2. Discussion sur l’utilisation de l’espace
Pour augmenter la taille de l’aire de jeux sans modifier la taille de l’espace vert, une possibilité serait de réduire l’angle entre \(AB\) et \(AC\) tout en augmentant la longueur de \(AB\) et en réduisant celle de \(BC\).
Cela augmenterait l’aire sous \(AB\) tout en conservant une hypoténuse de longueur constante, modifiant ainsi la répartition des zones sans changer la surface totale du parc.
Cette modification géométrique permettrait de prioriser l’espace pour l’aire de jeux.
3. Longueur du nouveau chemin BD
Supposons maintenant que \(D\) est le point milieu de l’hypoténuse \(AC\). La longueur de \(AD`\), qui est la moitié de \(AC\), est donc:
\[ AD = \frac{AC}{2} \] \[ AD = \frac{50}{2} = 25 \, \text{m} \]
Pour trouver la longueur du nouveau chemin \(BD\) dans le triangle rectangle \(ABD\) (où \(D\) est le milieu de \(AC\) et le triangle est toujours rectangle en \(B\)), on applique de nouveau le théorème de Pythagore:
\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \] \[ BD^2 = 30^2 + 25^2 \] \[ BD^2 = 900 + 625 \] \[ BD^2 = 1525 \] \[ BD = \sqrt{1525} \] \[ BD \approx 39.05 \, \text{m} \]
Le nouveau chemin \(BD\) mesurerait environ 39.05 mètres.
Calcul de longueur dans un parc triangulaire
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