Propriétés des Triangles

Comprendre les Propriétés des Triangles

Dans un parc d’aventure, un nouveau jeu consiste à traverser un pont suspendu qui forme un triangle avec le sol et un pilier de soutien.

Le sol sous le pont est plat. Le point où le pont commence au sol est marqué A, le sommet du pilier est marqué B, et le point où le pont touche à nouveau le sol est marqué C.

Le pont, AB et BC, forme les côtés du triangle ABC.

Données :

• Le segment AB (du sol au sommet du pilier) mesure 5 mètres.
• Le segment BC (du sommet du pilier à l’autre côté du sol) mesure 5 mètres.
• L’angle au sommet du pilier (angle ABC) est un angle droit.

Questions :

1. Type de Triangle : Quel type de triangle est ABC ? Justifiez votre réponse en utilisant les propriétés des triangles.
2. Mesure de l’Angle : Calculez la mesure des angles A et C.
3. Longueur de AC : Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du segment AC, c’est-à-dire la longueur du pont.
4. Périmètre : Calculez le périmètre du triangle ABC.
5. Aire : Calculez l’aire du triangle ABC.

Correction : Propriétés des Triangles

1. Type de Triangle :

Le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle. Ceci est justifié par le fait que l’angle ABC est un angle droit (90°), et les côtés AB et BC ont la même longueur (5 mètres), ce qui définit un triangle isocèle.

2. Mesure des Angles A et C :

Dans un triangle rectangle isocèle, les deux autres angles sont égaux. Sachant que la somme des angles dans un triangle est toujours égale à 180°, et que l’angle ABC est de 90°, les angles A et C sont donc de 45° chacun.

3. Longueur de AC :

La longueur du côté AC (la base du triangle) peut être calculée en utilisant le théorème de Pythagore, \(a^2 + b^2 = c^2\), où \(c\) est l’hypoténuse dans un triangle rectangle.

En substituant les valeurs connues :

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] \[ AC = \sqrt{5^2 + 5^2} \] \[ AC = \sqrt{50} \approx 7.07 \, \text{mètres} \]

4. Périmètre du Triangle ABC :

Le périmètre du triangle est la somme des longueurs de ses côtés :

\[ P = AB + BC + AC \] \[ P = 5 + 5 + 7.07 \] \[ P \approx 17.07 \, \text{mètres} \]

5. Aire du Triangle ABC :

L’aire du triangle peut être trouvée en utilisant la formule pour l’aire d’un triangle rectangle,

\[A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}\]

Ici, les côtés AB et BC peuvent être considérés comme la base et la hauteur, respectivement, puisque l’angle entre eux est de 90° :

\[ A = \frac{1}{2} \times AB \times BC \] \[ A = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 \] \[ A = 12.5 \, \text{mètres carrés} \]

Résumé des Résultats :

• La longueur du pont (AC) est d’environ 7.07 mètres.
• Le périmètre du triangle ABC est d’environ 17.07 mètres.
• L’aire du triangle ABC est de 12.5 mètres carrés.

Propriétés des Triangles